3-) Sea F de D a R, y D = {x + y > 0}. Hallar los puntos críticos y clasificarlos, siendo

F(x,y) = ln(x+y) / (x+y)

Aquí tuve un problema que lo detallo en oculto para que que los que lo quieran hacer lo intenten.

Siguiendo lo que planteaste... podés pensar qué pasa con , y estudiar los máximos absolutos. Derivás esto y te queda , que claramente se anula cuando . Luego, pasamos a hacer el siguiente estudio...
El signo de depende del numerador, porque el denominador es siempre positivo. Luego, es evidente que cambia de signo a partir de , y no hay más cambios de signo. Aún más; de la función es creciente, y de es decreciente(te lo da el signo del numerador). Claramente a partir de esta información es un máximo absoluto(dejo los toques de la justificación para vos). Luego los puntos son todos máximos absolutos. Esto valió porque la función toma todos los valores . Espero haberte ayudado. Saludos.

Muchas gracias. Yo había seguido esa línea, pero no sabía que se podía justificar por una variable. Gracias en serio

Algunas dudas... en que casos se puede usar esta estrategia de pasar el problema a una variable?? solo es necesario que la imagen de lo que estoy reemplazando sea igual al dominio de la función resultante despues de reemplazar?? y como tendría que justificarlo en el final?? Muchas gracias!!

yo en el final lo justifiqué componiendo funciones.. creo que en este caso sería componer la función en una variable con .. no me acuerdo si era exactamente así, pero así era la idea :p decís que si f tiene un máximo entocnes F=fog también porque .. g es creciente? ay jaja no me acuerdo nada, pero buen,o espero minimamente haber ayudado

La función resulta, al derivar y aplicar la regla de la cadena(donde se pueda aplicar):
. De ahi es donde vale que buscar los puntos críticos solo basta con buscar los puntos críticos de , luego usando que .
Un resultado un poco más general, dice que si tenés podés escribir a como funciones para las que podés aplicar la regla de la cadena bien, , tenés:
.
Luego, si buscás puntos críticos, o .
Ahora, resulta interesante de estudiar; si agregamos la hipótesis de h monótona creciente, se tiene que siempre, luego siempre. O sea, solo se anulará el gradiente si . Dígase de otro modo; se conservan los mínimos y máximos según . Si es monótona decreciente, se tiene , con lo que sigue bastando estudiar con el cuidado del signo -, que afectará cambiando máximos por mínimos y mínimos por máximos(o sea, el estudio que hagas se ve afectado por ese ''-'')
Ejemplo(muy estúpido, pero mi creatividad tiende hoy a 0): para estudiarlo lo podés pensar con .
Cuando la estudiás sobre resulta monótona creciente, pudiendo bastar estudiar máximos y mínimos sobre .

Realmente muchísismas gracias exequiel (a bel tambien!)! Ahora me quedo todo mucho más claro y creo q es un recurso muy útil para los casos en que se puede utilizar. Solo una cosa: creo que quisiste poner en lugar de cuando definiste las funciones, aunque igual la idea esta más que clara y se entiende perfectamente. Otra vez, gracias por contestarme y ayudarme!