Sea con derivadas parciales continuas en el abierto U. Probar que f es diferenciable en U.

Bueno, el problema que me surgió se reduce a dos posibilidades, o a esto le falta que f es continua en U y lo que hay que hacer es demostrar que si f es C1 entonces es diferenciable, o hay que probar primero que si sus derivadas parciales son continuas entonces f también lo es (lo cual tengo entendido que no es cierto) para poder usar Lagrange.. Sino, hay que hacer una demostración diferente que la de C1 implica diferenciable, y no se me ocurre qué hacer..

Este es el teorema ''si es en , es diferenciable en ''. Es un teorema, en el sentido que suele tomarse. No es muy difícil probar; basta estudiar , tomando el punto que querés probar, y suficientemente pequeños. Sumás y restás , y obtenés . Como satisface que existen las derivadas parciales en , resulta que, por ser además continua , vale Lagrange en una variable. Si mirás qué le pasa a , podés pensar que está fijo, y tenés una función en una variable, con las hipótesis de Lagrange, que te permiten . Lo mismo hacés con la otra diferencia, y obtenés . Luego, además, son continuas en . Luego, existen . Estudiás el límite de diferenciabilidad...

Creo que vos podés darle el toque final ahora, viendo que es continua en , con lo que . Lo mismo con la otra derivada. Luego, acotás primero con la desigualdad triangular, y bueno, el resto a cargo tuyo. No se si aclaré; pero la intención era ayudar(me contradigo en la misma oración...). Saludos.

Sí, esa demostración que das la conozco y la sé hacer.. El problema es que estás usando que f es continua para usar Lagrange, y justamente el enunciado no dice nada de que f sea continua..

En realidad lo que hacés es definir una función en una variable, llegas a que es derivable, luego, como está en una variable, es contínua, y ahí vale Lagrange.. ahora la posteo si querés

Haber... sabés que es continua en y , por ejemplo. Como son continuas, existen las derivadas parciales y luego resulta que la función que tiene fija , y tiene móvil, es continua en el intervalo deseado y diferenciable, nuevamente en el intervalo buscado. Lo que sabés es que es continua la función . Espero que ahora se entienda...

Claro, ahí entendí, lo que me faltaba era esa parte digamos, poder justificar por qué puedo usar Lagrange aunque no me digan que f es continua.. gracias..

Dejo el teorema y la demo, espero que sirva:

Sea y tal que existe , . Existen también las derivadas parciales de en . Si además son contínuas en es diferenciable en .

Demostración:

=

Sea , tal que si .

Sea ,

Luego, es derivable en , y


Como cumple las hipótesis del teorema de Lagrange , existe tal que .
Si llamamos tenemos .

Definiendo , tal que si , razonando de forma análoga concluimos que existe = , tal que .

Luego,
.

Como las derivadas parciales son contínuas en :
Dado , existe tal que

y .

Tomando ,




Luego, es diferenciable en


Bueno, esa es la Becker's demo. Espero que esté bien texeada, y sirva, Salud os.