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| [No Resuelto] Final 17/06/08 ejercicio 1 http://ubacs.com.ar/ubacs/viewtopic.php?f=37&t=465 |
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| Autor: | Matias [ 11 Ago 2008, 14:57 ] |
| Asunto: | [No Resuelto] Final 17/06/08 ejercicio 1 |
Sea con derivadas parciales continuas en el abierto U. Probar que f es diferenciable en U. Bueno, el problema que me surgió se reduce a dos posibilidades, o a esto le falta que f es continua en U y lo que hay que hacer es demostrar que si f es C1 entonces es diferenciable, o hay que probar primero que si sus derivadas parciales son continuas entonces f también lo es (lo cual tengo entendido que no es cierto) para poder usar Lagrange.. Sino, hay que hacer una demostración diferente que la de C1 implica diferenciable, y no se me ocurre qué hacer.. |
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| Autor: | exequiel131719 [ 11 Ago 2008, 15:36 ] |
| Asunto: | Re: [No Resuelto] Final 17/06/08 ejercicio 1 |
Este es el teorema ''si es en , es diferenciable en ''. Es un teorema, en el sentido que suele tomarse. No es muy difícil probar; basta estudiar , tomando el punto que querés probar, y suficientemente pequeños. Sumás y restás , y obtenés . Como satisface que existen las derivadas parciales en , resulta que, por ser además continua , vale Lagrange en una variable. Si mirás qué le pasa a , podés pensar que está fijo, y tenés una función en una variable, con las hipótesis de Lagrange, que te permiten . Lo mismo hacés con la otra diferencia, y obtenés . Luego, además, son continuas en . Luego, existen . Estudiás el límite de diferenciabilidad... Creo que vos podés darle el toque final ahora, viendo que es continua en , con lo que . Lo mismo con la otra derivada. Luego, acotás primero con la desigualdad triangular, y bueno, el resto a cargo tuyo. No se si aclaré; pero la intención era ayudar(me contradigo en la misma oración...). Saludos. |
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| Autor: | Matias [ 11 Ago 2008, 15:41 ] |
| Asunto: | Re: [No Resuelto] Final 17/06/08 ejercicio 1 |
Sí, esa demostración que das la conozco y la sé hacer.. El problema es que estás usando que f es continua para usar Lagrange, y justamente el enunciado no dice nada de que f sea continua.. |
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| Autor: | Agustin [ 11 Ago 2008, 15:50 ] |
| Asunto: | Re: [No Resuelto] Final 17/06/08 ejercicio 1 |
En realidad lo que hacés es definir una función en una variable, llegas a que es derivable, luego, como está en una variable, es contínua, y ahí vale Lagrange.. ahora la posteo si querés |
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| Autor: | exequiel131719 [ 11 Ago 2008, 15:51 ] |
| Asunto: | Re: [No Resuelto] Final 17/06/08 ejercicio 1 |
Haber... sabés que es continua en y , por ejemplo. Como son continuas, existen las derivadas parciales y luego resulta que la función que tiene fija , y tiene móvil, es continua en el intervalo deseado y diferenciable, nuevamente en el intervalo buscado. Lo que sabés es que es continua la función . Espero que ahora se entienda... |
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| Autor: | Matias [ 11 Ago 2008, 15:54 ] |
| Asunto: | Re: [No Resuelto] Final 17/06/08 ejercicio 1 |
Claro, ahí entendí, lo que me faltaba era esa parte digamos, poder justificar por qué puedo usar Lagrange aunque no me digan que f es continua.. gracias.. |
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| Autor: | Agustin [ 11 Ago 2008, 16:15 ] |
| Asunto: | Re: [No Resuelto] Final 17/06/08 ejercicio 1 |
Dejo el teorema y la demo, espero que sirva: Sea y tal que existe , . Existen también las derivadas parciales de en . Si además son contínuas en es diferenciable en . Demostración: = Sea , tal que si . Sea , Luego, es derivable en , y Como cumple las hipótesis del teorema de Lagrange , existe tal que . Si llamamos tenemos . Definiendo , tal que si , razonando de forma análoga concluimos que existe = , tal que . Luego, . Como las derivadas parciales son contínuas en : Dado , existe tal que y . Tomando , Luego, es diferenciable en Bueno, esa es la Becker's demo. Espero que esté bien texeada, y sirva, Salud os. |
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