Hola, alguien tiene idea como plantear el 3?

No estoy seguro que funcione, pero yo trataría de plantear Bolzano para con una curva.

No entiendo, cómo es que planteas Bolzano para el 3)??

Es sólo una idea... pero si tuviera finitos ceros entonces serían aislados. Luego usando el teorema de Bolzano como dice quimey concluiríamos que f-g debe ser toda positiva o bien toda negativa. Luego sería un mínimo/máximo absoluto pero eso no puede pasar pues el gradiente en ese punto es distinto de cero. Como la función es C^1 por el teorema de Lagrange la función en una bola de cualquier radio toma tanto valores positivos como negativos. Absurdo entonces tiene infinitos ceros. Obviamente hay que ultimar los detalles

Cómo puedo partir en el 4 para ver si son o no válidas?

te tiro un par de ideas para el 4) sin decirte verdadero o falso, fijate si te sirven:

a) Por un lado fijate que ya sabés que f es continua (enunciado), y hay un resultado que relaciona continuidad y sucesiones que seguro vieron en la clase. Por otro lado te dan una sucesión en particular tal que si mirás las imágenes de sus puntos, te queda una sucesión en que es constantemente 0, esa sucesión tiene límite? cuanto vale?.
b) Es importante que resuelvas el a). Escribí que significa que f sea diferenciable (o sea la definición), y usando que ese límite existe, fijate si podés llegar a una conclusión de lo que sería el "numerador".
c) Fijate de interpretar lo que dice el enunciado. Como que da a entender que si una función diferenciable vale 0 en un punto y ese es el único punto en donde se anula el diferencial, entonces 0 es un mínimo o un máximo relativo. Y eso es realmente así?? Que pasa en el caso análogo de una variable? por ejemplo con . Y en particular para este ejercicio, que pasa con ??

No se puede usar el teorema de la función implícita?, porque o sea mi intuición dice que en algún lado tiene que haber una bola jajaja. Y si llamo h(x,y)=f(x,y) - g(x,y) y la curva de nivel S = {(x,y) : h(x,y)=0} creo que cumplo las condiciones del teorema. Capaz la estoy errando feo.Disculpen la falta de látex pero estoy en la biblioteca desde la tablet.

Sale de las dos formas, la forma usando bolzano es más facil de justificar. Aca tenes las dos formas: viewtopic.php?f=312&t=3259