Bien. Como veran me cuestan las series jajaja. Aca van dos mas, desde ya gracias por la ayuda:

1. es absolutamente convergente. Decidir si convergen:
1.a)
1.b)

2. Sabiendo que converge para y diverge para . Que se puede decir sobre:
2.a)
2.b)
2.c)

Resuelvo la primera parte
1)

Espero haber ayudado. Ahora miro los otros.

Hay un problema en tu demostracion:
Vos afirmas que si es una sucesion y Esto es falso en general (suponete que f es 0), aunque como el ln es creciente algo se puede argumentar.
Lo que si vale y es lo que en realidad usas es que (en ese caso) entonces el logaritmo no puede tender a 0.
Ojo!
Espero no haber metido la pata

Pero el logaritmo natural es una función continua y además, según el argumento que puse, es una función distinta del 0(en efecto, dije que la única forma de anularse, o de que tal límite sea 0, es tomando valores suficientemente cercanos al 1). Como el límite existe, y es 0, y es una sucesión, la única manera que tal límite sea 0 es que . Es decir, usé que la función es el logaritmo natural y es continua

Lo que digo es que estas usando de alguna forma que es inyectiva. Fijate que puse un ejemplo donde no vale (por supuesto la funcion 0 no es inyectiva)

Si, estoy de acuerdo. Pero estoy diciendo que solo toma valores cercanos al 0 el logaritmo natural si tomo un intervalo suficientemente chico en torno al 1. De alguna manera, estoy usando que es inyectiva, lo que pasa es que tengo que hacer un paso al límite. Eso es lo que digo.

No entiendo por qué tanto problema. La función exponencial es inversa del logaritmo, y al ser continua, . Digo, exequiel, me aprece más fácil hacer eso que argumentar lo que decís vos. Ahí usas que es inyectiva porque le encontraste una inversa. Saludos.

PD: Como no me cansé de repetir el año pasado: En análisis 1 (y en todo), hay que hacerse la vida fáaaaaaaacil...