Final tomado el dia 21/02/14

1) Decidir si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas.
a) Sea tal que es no vacio y es acotado.
Entonces .
b) Sea tal que es no vacio y es acotado. Entonces .

2) Sean dos Transfomaciones lineales
tales que los vectores
son linealmente independientes. Sea D el area de la region limitada por las rectas y . Calcular:
.

3) .

4) Si , es clase , es un punto critico de
y si el Hessiano de es definido positivo en , entonces es un minimo realtivo extricto de .

Iban a tomar los teoremas de esta pagina http://cms.dm.uba.ar/academico/materias ... lisis_1_M/
(ver donde dice "información")

como se resuelve el ejercicio 2??

Hola!. Mirá, acá tenes uno muy similar a ese viewtopic.php?f=37&t=2965. La idea, creo, es llamar u = F(x,y) una transformacion lineal, y v = G(x,y) otra T.L. Despues, podes ver que en la integral solo tenes involucradas a estas dos funciones y "reemplazas". Hay que acordarse del Jacobiano. Ahi te dan el gradiente de las funciones evaluadas en un punto, pero como son transformaciones lineales,en la matriz diferencial solo aparecen constantes por lo tanto no dependen del punto en la que evaluas. Osea, los gradientes son L.I para cualquier par (x,y). Así, deducis que el determinante es distinto de cero , la funcion es biyectiva, etc. Nose si es muy claro u.u

Una pregunta, el 1 estará bien copiado el enunciado?. Es parecido a uno de un final viejo, pero me resulta raro (en los dos encuentro un contraejemplo, pero me suena que lo estoy pensando mal :S)

Saludos!

Tenes razón, lo copie mal, en realidad es:
a)
b)

El primero es cierto, en el segundo se demuestra con un contraejemplo.

Saben cual es el criterio de aprobación para estas fechas?

Buscas esto? http://cms.dm.uba.ar/academico/materias ... lisis_1_M/

Gracias Fede, pero lo que yo quería saber es con cuanto se aprueba el final, si hay que hacer uno teórico y uno practico o si con los dos teóricos alcanza... para tener una idea.

Si alguien sabe y me puede ayudar, GRACIAS!

Mira, a ciencia cierta no se, pero calculo que en estas fechas con dos bien aprobas (mas halla de si es teorico o practico los ejercicios resueltos). En total vienen tomando cuatro puntos, de los cuales dos son de los teoricos que piden, y los otros dos son teorico-practicos.

Yo opino que si tenes en claro todos los teoricos que piden te mandes a rendir.

Sino proba mandarle un mail a algun docente a cargo de la mesa de examen para ver que te dice.

Buenas! En el de la integral deducis que el jacobiano no es cero pero no entiendo como seguir

Fijate que sabés que f(x,y) y g(x,y) son rectas. Entonces f(x,y) es la forma f(x,y) = ax+by. Entonces f(x,y) = 3, es ax+by = 3 y f(x,y) = 7 es ax+by = 7. Si querés hacete todos los despejes o ejemplos que necesites, pero vas a ver que ambas rectas son paralelas, y no son la misma. Lo mismo con g(x,y), las g(x,y) son paralelas entre si. Como los gradientes de f y g sabés que son li, f y g no coinciden. Entonces en definitiva D es una región delimitada por dos pares de rectas paralelas. O sea D es un paralelogramo. Y eso es facil de transformarlo en un rectángulo e integrar en esa nueva región.
Por ejemplo proponés u = f(x,y) y v = g(x,y). Y ya conocés los límites entre los que se mueve u y v, por ejemplo .
Y bueno fijate si con esta idea podés seguir hasta el final.

Pregunta: Como sabes que f y g son rectas??

El problema dice que f(x,y)=3 y... son rectas, pero como deducis entonces que f tiene la forma f(x,y)=ax+by si, supongamos, f(x,y)=4? Digo, no podria tener en este punto una forma,por ejemplo, cuadratica?

Lo que estamos seguros es que si f(x,y)=3 y f(x,y)=7 son rectas, entonces f(x,y)=ax+by=3 y f(x,y)=cx+dy=7, pero como aseguras que para todo f vale la forma lineal ax+by?

Es verdad, no lo escribí. Como se que no hay términos cuadráticos ni de ninguna otra potencia y que vale esa forma lineal? Eso lo sé porque f y g son transformaciones lineales en , lo dice el enunciado. Las transformaciones lineales sacan constantes o sea se cumple que si f es tl entonces f(cx,cy) = cf(x,y) y separan sumas, o sea cumplen que f(x+x´,y+y´)=f(x,y)+f(x´,y'). En el cbc uno aprende como es la forma de todas las transformaciones lineales.

Entiendo que sean transformaciones lineales, pero a partir de ahi podes demostrar que tienen esa forma lineal?

En realidad me parece que ya nos estamos yendo del tema, y ahora no se me ocurre realmente como probarlo sin meterme con álgebra. Lo que yo quería remarcar es que en definitiva el área original sobre el que había que integrar era un paralelogramo porque estaba delimitado por dos pares de rectas paralelas, y que es facil transformarlo eso en un rectángulo (que es fácil integrarlo en . Además de que cuando uno visualiza que está pasando o que te está pidiendo el ejercicio parece ser más amigable.
Otra forma de encararlo y justificarlo, por ahí más analíticamente es la siguiente:
Sabés que f(x,y) = cte es una curva de nivel de alguna función (lo mismo g = cte), en este caso son las curvas de nivel de una tl, que es una función C1, continua y todo lindo. Las curvas de nivel no se cruzan, y entre f(x,y)= 3 y f(x,y)=7 están todos las curvas intermedias, y sabés que estás en , y que en dos casos son rectas (f(x,y)=3 y f(x,y)=7), dos rectas en el plano que no se cruzan entonces son paralelas. Mismo argumento para g, habría que ver que las rectas de g y f no son paralelas entre si. Pero el gradiente de f y de g son li, o sea ninguno es el múltiplo del otro. Y el gradiente también es la perpendicular a la curva de nivel, y si ninguno es el múltiplo del otro, entonces no son paralelos, y por lo tanto las curvas perpendiculares a ellos tampoco son paralelas. Entonces ya vemos que las rectas de f y g no son paralelas. Entonces tenemos dos juegos de paralelas, por lo tanto nuestra región es un paralelogramo.
Luego aplicamos el cambio de variable u=f(x,y) y v=g(x,y), , . Y bueno resolvemos con el Teorema de Cambio de Variable la integral que queda (no olvidarse del jacobiano, pero sabemos que es cte así que lo reemplazamos por un valor k).

Se entiende la idea un poco mejor?

También si queremos podemos justificar que todas las curvas de nivel son rectas paralelas, ya que sabiendo que el gradiente de una tl es un vector constante, sabemos que el vector perpendicular a las curvas de nivel tiene siempre la misma dirección. Y por lo tanto su perpendicular siempre va a tener la misma dirección, nunca va a "doblar", entonces van a ser rectas paralelas.

Vos decis que los gradientes son LI para todos los puntos de las rectas que se proponen, pero el enunciada declara que son LI para determinados puntos. Por eso mismo, si se pudiera demostrar que f y g tienen esa forma lineal que propones sale, pero si no, Como saber realmente que son LI en todos los puntos de las rectas? Ademas, afirmas que el gradiente de una tl es un vector constante. Podes demostrarlo?

Vos decis que los gradientes son LI para todos los puntos de las rectas que se proponen, pero el enunciada declara que son LI para determinados puntos. Por eso mismo, si se pudiera demostrar que f y g tienen esa forma lineal que propones sale, pero si no, Como saber realmente que son LI en todos los puntos de las rectas? Ademas, afirmas que el gradiente de una tl es un vector constante. Podes demostrarlo?

Si. Tomamos (x,y) un punto cualquiera de . Y sea f: transformación lineal. Entonces f(x,y) = f[(x,0)+(0,y)]. Como f es tl, puedo separar la suma, f(x,y) = f(x,0)+f(0,y) = f[x.(1,0)]+f[y.(0,1)]. Como f es tl puedo sacar x e y afuera, y me queda: f(x,y) = x.f(1,0)+y.f(0,1). Ahora f(1,0) y f(0,1) son constantes y están en R, entonces llamo f(1,0) = a, y f(0,1) = b. Entonces me queda f(x,y) = x.a + y.b. Y bueno ahora es facil ver que . Que es constante en todo el dominio, y si dos gradientes de transformaciones lineales son li en un punto, son li en todos los puntos.

Ahora si se puede resolver.

Buenissimo!! Gracias!!

Lo que a mí no me termina de quedar muy claro del ejercicio 2, quizá alguno pueda echarme una manito, es lo siguiente: La transformación lineal que estamos usando es T(u,v) = (f(x,y), g(x,y)), no? Entonces el jacobiano J seria la matriz con el gradiente de f en la primera fila y el gradiente de g en la segunda (cuyo determinante det (J) no lo sabemos numéricamente pero conocemos que existe y que es distinto de 0) . Y por lo tanto el área sería la integral doble (con los límites de integración que son inmediatos sacarlos) de (e^u).v. det(J).

Pregunto, porque medio que me estoy mareando con transformaciones lineales y si mal no recuerdo el teorema del cambio de variable versa sobre calcular la integral sobre un dominio que ya está transformado calculando la integral sobre el dominio a partir del que se generó el transformado. ( es decir calcular la integral de f en D, calculando la de de f o T . det(j) en A , siendo D=T(A) ). En este caso, D sería el de las f y g y A sería el de u y v.


Perdón por lo desprolijo del post, se me borró del cerebro cómo usar latex.

Saludos!

EDIT: Voy a ahondar un poquito más en lo que me turba de este ejercicio. Casi siempre en los ejercicios que solemos ver tenemos algo de la forma T(x,y) = (algo1, algo2); y siempre te dan para calcular la integral de una función respecto de x y de y . Entonces aplicando cambio de variable transformamos para calcular esa integral respecto de algo1 y algo2.
En este caso, te dan la integral en función de f(x,y) y g(x,y) y la idea es buscar una transformación que las convierta en u y en v . ¿Pero entonces no sería algo como T(f(x,y), g(x,y) ) = (u, v) (es decir al revés de lo que dije antes del EDIT)? Espero haberme explicado bien. Mi duda es entonces, ¿cómo viene la mano : T(u,v) = (f(x,y), g(x,y)) ó T(f(x,y), g(x,y) ) = (u, v) ? En este último caso el determinante del Jacobiano es claramente 1 y tiene sentido porque en el fondo simplemente se renombró a f(x,y) por y y a g(x,y) por v (es más, ni cambian los límites de integración).

Saludos !

Para crear la Transformacion lineal tene en cuenta lo siguiente:

f(x,y) = f(x,0)+f(0,y) = f[x.(1,0)]+f[y.(0,1)]= x.f(1,0) + y f(0,1)
g(x,y) = g(x,0)+f(0,y) = g[x.(1,0)]+f[y.(0,1)]= x.g(1,0) + y g(0,1)

y como queremos f(x,y) = u y g(x,y) = v , tenemos que

x.f(1,0) + y f(0,1) = u
x.g(1,0) + y g(0,1) = v

Entonces encontramos las soluciones de x e y. Nos queda:




Por lo tanto, tomamos:



Y como estas son soluciones del sistema de ecuaciones anteriores, nos asegura que al hacer el cambio de variables vamos a obtener f(x,y) = u y g(x,y) = v.

y El jacobiano es



que es una constante que va a salir de la integral

(revisa los calculos por las dudas, pero esa es la idea)