Sea , y
a)Sea la sucesión definida ), probar que ; decidir si converge y si converge.
b)Encontrar, si existen, los máximos y mínimos absolutos de .


2)
a)Probar que el área de es igual
b)Encontrar todos los valores de para los cuales la región tiene área igual a

3) Probar Teorema Valor Medio (Lagrange) en

4) Probar Bolzano en

2)

Esas son más o menos las ideas, lo estoy haciendo completamente de memoria así que tal vez contenga alguna mandada de pata, pero la idea central era esa.

Tengo una duda respecto al 2 o mejor dicho varias
que el jacobiano de la primera transformación sea 1 garantiza que el disco sea unitario? o sea por lo que entiendo no esta multiplicado por nada raro o alguna otra constante que afectaría a su uniteriadidad (existe esa palabra(?))... por lo tanto efectivamente el area seria pi....es así?
igualmente creo que si el primer jacobiano no seria alguna constante entonces esta mal la transformacion (me equivoco?)

Perdón si escribi algo incoherente, hace rato que no duermo [**** final]

El Jacobiano no garantiza que el Nuevo disco D sea unitario. Lo que lo garantiza es la Transformación lineal así elegida (como la eligió dxdt), dado que estas pidiendo basicamente que se cumpla .

Ahora si queres hacer el cambio de variables en la integral, tenes que meter el jacobiano,asi:

Donde el Jacobiano es el que regulariza todo y hace que las integrales en sus respectivas regiones te den igual.

Y como el Nuevo D es el disco unitario, y el Jacobiano da 1, el area sale que es .

Por cierto, el Jacobiano no necesariamente debe de ser una constante. Fijate sino el cambio a coordenadas polares, tomando , el Jacobiano de esta Transformacion es .

Pd: Al meter la Transformación lineal adentro de la integral todavia queda una integral que "hay que resolver" (sale al toque con coordenadas polares)

Una pregunta para el 1. Cuando parametrizas con la curva , y derivas la composición... No te da un único punto en donde se anula la derivada( -32^ 1/3), que no pertenece a S?

Si hablas de la parametrizacion de la curva S y te dio un punto fuera de S, entonces hay algo mal. No puede darte fuera de S porque con la composicion estas exigiendo que este dentro de S.

Lo acabo de hacer y con la parametrizacion , queda la composición .

Derivando obtenemos .

Como queremos que sea igual a cero, vemos que el termino debe ser igual a cero. La solución de esta ecuacion es x=2, luego y=2.

Y estos puntos si pertenecen a S.

Ah, había derivado muy mal. Entonces, tendrías que por esa curva alcanzas un extremo , absoluto?, en el punto hallado.No?

El punto hallado es unico, asi que seria absoluto.

Si tenes dudas fijate la definicion de extremo absoluto y extremo relativo.

http://es.wikipedia.org/wiki/Extremos_d ... nci%C3%B3n

Justamente esa es la duda. Si la funcion tiene minimo absoluto, entonces el unico punto que hallamos es el indicado. Pero ahora, como no es un comopacto, no es necesario que los alcanze. Digo, no habria que probar por definicion que ese punto es minimo absoluto?

No se muy bien a que te referís con "probar por definición" (tampoco porque mencionas a los compactos). Pero si queres probar que ese punto es minimo o maximo te conviene calcular la derivada segunda y evaluarla en el punto hallado.

Decia que F esta restringida a S, que no es compacto entonces no necesariamente debe alcanzarlos.
Ahora me cierra mas creo. A lo que iba era, una vez hallado el punto critico, unico, de la composicion, faltaria ver algo mas. Por ejemplo, probar que f(p) < f(x) para todo x en R. A eso le llamaba definicion. La forma que vos decis,dxdt, vendria a intentar justificar justamente esto utilizando los limites al infinito(por lo que entendi).
Lo que me hizo dudar fue "el punto hallado es unico, entonces seria absoluto". ¿Que garantiza eso ,si no estamos sobre un compacto, y sin haber probado nada de lo anterior( definicion o limite).

Ahi entendi tu pregunta.

No, que sea el unico punto hallado no lo hace absoluto (ahora que lo pienso bien (porque podria ser uno relativo)).

Entonces para ver que sea absoluto tendrias que ver que en la composición.

Quedaria , entonces basta demostrar que .

Genial, me gusto esa forma. Muchas gracias por la ayuda!