Lamento, pero no se la adecuadamente cuando se tomó este final y que ejercicio era... pero lo pongo igual.
Sea , estrictamente positiva y continua, y sea . Hallar los puntos críticos de F y clasificarlos.

Espero que haya ayudado. Saludos.
Edit: gracias Agustín. Ya cambié la fecha
Edit 2: cambié mínimo por máximo; gracias Daniel

Te dejo la fecha:
Examen Final - 19 de Febrero de 2008, ejercicio 3.

Marce un detalle,cuando hablas de la bola de centro 0,0; fijate q cometiste un error en la desigualdad,deberia decir:

f(x,y)>= f(0,0)

En mi ejemplo, es un máximo, con lo que . Pero es lo mismo usar ; lo importante es que no puede ser un extremo

Justo en este ejercicio se mezclan con . En realidad sería , no? (suponiendo un mínimo, por ejemplo)

Bien, bien, ahora lo cambio; gracias. Por favor, en el final no cometan este error ridículo, pero importante (nota: cambié lo que dijiste, Daniel; al principio no veía lo que decías. Así que la resolución presenta las letras cambiadas y mínimo por máximo)

En efecto, sale de mantener constante o la otra variable, según corresponda. Si quérés verlo mejor, podés pensar así: tenés fijo , luego tenés la integral . Si hacés el cambio de variable , resulta que , luego, además, cambia el límite de integración, porque ahora vale con (el caso estudialo aparte); te queda y ahora si el teorema fundamental del cálculo asegura la derivada buscada, . Si , antes de derivar vale la función, y la derivada de es, nuevamente . Con lo que sigue valiendo, para cualquier , que . Hacés lo mismo con y listo. Espero haber aclarado un poco más.
Pensé el siguiente ejercicio, algo parecido a este. Espero que sirva como práctica:
Estudiar los extremos sobre de , sabiendo que , siendo continuas y estrictamente positivas.

ay, yo lo había pensado de otra manera, seguramente está mal, pero me gustaría saber donde está el error si alguien me dice por favor
yo había dicho que como f es contínua se podía usar el teorema del valor medio, e iba a haber un c entre a y b tal que



y ese f(c) tiene que ser un número positivo, porque f es estrictamente positiva. Entonces te queda que el único punto crítico es el (0,0), y etc...

hay algo que no estoy viendo? les agradecería mucho si me dicen :)

La única complicación es que no obtenés puntos críticos por ese método. Ojo, en realidad lo que vos decís tiene el corolario que resuelve el problema. Repito; el en el Teorema del Valor Medio no es un punto crítico, porque no es un punto donde se anula el gradiente de . No se si estoy confundiendo más... pero como se piden puntos críticos... tenés que derivar. Espero aber sido claro. Saludos.

mm
si yo hago lo que dije arriba me quedaría



Como f(c) es un número positivo (distinto de 0), ahí puedo derivar sin ningún tipo de problema, y de ahí saco que el gradiente es nulo en el (0,0). está bien eso?
perdón por no haber explicado bien antes, pasa que mi pregunta se refería más a si es correcto usar el teorema del valor medio cuadno en vez de "a" y "b" fijos tengo "a" y "cualquier punto".

bueno, muchas gracias :)

Ahh... no dijiste eso antes, o si? De igual manera depende de , con lo que cuando derivás, no termina de quedar claro que es derivar . Ahora que lo veo, es probable que arribes al mismo resultado, pero el paso no es tan ''inmediato''. Hay que justificar más. Fijate lo que te digo. Saludos.

A ver qué les parece esta conjetura y si se puede aplicar acá. Si es una función estrictamente monótona, entonces los máximos y mínimos de serán máximos y mínimos de .