Dejo el final de octubre de 2013 y aprovecho para consultar. Este final lo desaprobé y aun no puedo resolver el ejercicio 4 de la mejor manera y el dos b no tengo idea de cómo encararlo ya que no pude (ni puedo) encontrar el gradiente de g ¿alguna ayudita?

1- demostrar multiplicadores de lagrange

2 a) demostrar TFC
b) sea f:R-->R continua y derivable mayor que cero para todo t, y G(x,y)=integralentre y^2 y x^3 de f(t)dt. demostrar que G(x,y) es diferenciable, calcular plano tangente en (0,0) y decir si tiene un extremo en (0,0).

3. F(xy)= x^2 + y^2 - z^2. calcular plano tangente a la superficie de nivel f(xy)=0 y mostrar que (0,0,0) esta en el. Mostrar que el plano tangente existe para cualquier punto del cono menos el (0,0,0)

4. sea g(x,y) continua, g(0,0)=0 y f(x,y)=x^ay^bg(x,y) calcular las derivadas parciales y demostrar que f(x,y) es diferenciable en el (0,0) si a+b>=1

Te recuerdo que es obligatorio escribir las expresiones matemáticas usando . Si no sabés usarlo, tenemos un mini tutorial en la sección de reglas y anuncios.

Una pregunta, para el 2)b), puedo decir que como la funcion es positiva para todo t, al integrar en cualquier intervalo siempre voy a obtener un resultado mayor a cero? Entonces si integro con limites iguales me va a dar 0, por lo que 0 sería un mínimo.
Entonces G(0,0) = 0. Y como en G(0,0) se alcanza un mínimo, dado que la integral en cuestión como mínimo vale 0, afirmo que el gradiente de G en (0,0) es (0,0) por el teorema de Fermat? Por lo tanto el plano tangente sería el Z=0?

Si alguien me da una mano con esto se lo agradecería:

4b) Primero quiero calcular (ver si existen) las derivadas parciales de G.
Si defino y entonces, y . Como f es continua (entonces integrable) entonces, por el TFCI, cada es continua, derivable y vale y


Entonces tengo . Las derivadas parciales de G son continuas (f es continua) entonces y por lo tanto diferenciable.
El plano tangente queda


Ahora para ver que no tiene un extremo (?) me acerco por la curva (continua) .


Pregunta; es muuuy cualquiera esto? Y si no, estaría bien justificado (mas o menos)?
Me cuesta creerme que el TFCI me asegure la existencia de esas derivadas (la de )... osea, entiendo que sería dejando uno de los limites de integración fijo, variando uno solo a la vez tengo TFC para cada variable... y que esa es la idea de las derivadas parciales... pero traté de demostrar que eso valia haciendo una demo parecida a la del TFC y es un lio...

si alguien me responde le deseo feliz navidad ?)

Hola, alguna idea para el 3? Me marea que el enunciado diga que el (0,0,0) esta en el plano pero que no existe para el (0,0,0)...

Calculá el plano tangente para cada (x,y,z) que no sea (0,0,0) y fijate que el (0,0,0) está en estos planos. Después intentá ver que en (0,0,0) no hay plano tangente (calculo que esto lo podés hacer "con las manos" haciendo unos dibujos o algo así)