Les dejo el final que tomaron ayer. Bastante copado, aunque un poco más complicado que las dos fechas anteriores.

1) Sea de clase tal que . Probar que no es inversible.

2) Sea una función diferenciable en y sea tal que . Probar que existe la derivada direccional y es igual a . Deducir que el gradiente es la dirección de máximo crecimiento.

3) Enunciar y probar el Teorema de Bolzano para

4) Sean dos transformaciones lineales tales que los vectores y son linealmente independientes. Sea el dominio limitado por las rectas , , y . Calcular:

Alguna idea para el 1) y el 4) ?

El 1 usa el teorema de la funcion inversa y fijate que pasa con la inyectividad.
El 4 lo podes pensar como que ya fue transformado T(f,g)=(u,v) y el jacobiano va a ser distinto de cero por ser linealmente independientes sus gradientes. Entonces la retransformas multiplicando por 1/J. Usando fubini calculas la integral entre -2 y 2 y te va a dar 0.

Alguien me explica en detalle el ejercicio 4 porfa?