Buenas, la demo del 3 de existencia de derivadas parciales esta en el apunte de larotonda (pagina 15) por si alguno no lo tiene tiro la idea. Escribis la expresion del limite de diferenciabilidad, usando transformaciones lineales, es decir, que existe una transformacion lineal Tp tal que

modulo de f(x) - f (p) - Tp (x-p) sobre norma de (x-p) tiende a cero, cuando X tiende a P (espero que se entienda, sino lo escribo en formula la proxima)

Como el limite del enunciado existe, en particular existe componiendo con cualquier curva que tenga limite P . Tomamos X= P + tV (con V de norma 1)

y tenemos que, por un lado X-P= tV y por otro lado norma de (X-P)= t , reemplazando estas cosa en la expresion de arriba queda;

Limite (cuando t tiende a 0) de f (P+tV) - f(P) -Tp (tV) / t = 0 (todo en modulo claro)

ahora distribuyendo la t: lim [ f (P+tV) - f(P) ] / t -Tp (V) = 0 (recordar que vale sacar el escalar t afuera en la TL )

en definitiva lim [f (P+tV) - f(P)]/t = Tp (V) ya que lo de la derecha dejo de depender de t

El limite de la izquierda es la derivada direccional de f en el punto P, entonces como Tp existe, tambien existe cualquier derivada direccional, en particular existen todas las derivadas parciales...