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Tengo el siguiente enunciado:
f:R--->R derivable. La derivada no es necesariamente continua. Probar que:
1) si f' no se anula, f inyectiva en a,b cerrado.
Eso no hay problema, tomo x1 y x2 distintos y digo que f(x1)=f(x2), aplico Lagrange con X1 y X2, y me queda 0=f'(c) (X2-X1). f'(C) no se anula y la difrencia tampoco, llego absurdo, y el absurdo viene de suponer que x1 y x2 son distintos. Fin.
2) f inyectiva---> f estrictamente creciente o estrictamente decreciente.
Mi problema acá es que no se me ocurre cómo mostrar que signo(f'(x)) es constante. Bah, no se me ocurre por otro lado tampoco.
3) f'(a)<0<f'(b). Luego, existe existe c que pertenece a (a,b) tal que f'(c)=0. Me gustaría decir que existen x1 y x2 en el abierto tales que f(x1)=f(x2). y ahí con Rolle o Lagrange estoy hecho. Pero tampoco se me ocurre cómo justificarlo adecuadamente. Porfa, si se les ocurre algo, sera muy bienvenido.
Ah, y esto (lo último):
Sea f:R2---->R función C1 restringida a la bola de norma 1. f restringida tiene máximo absoluto en (1;0). Probar que la derivada parcial de f en x es mayor o igual que cero.
Lo que había hecho es decir. Bueno, (1;0) pertenece al borde de la bola. El gradiente de la "función borde" (es decir, (xy) tales que la norma es igual a uno) no se anula en (1;0). Por teo de multiplicadores de lagrange, el gradiente de f en (1;0) es lambda pro el gradiente de la función borde en (1;0).
La derivada parcial de f respecto de y me queda que es exactamente 0.
La derivada parcial de f respecto de x me queda que es igual a lambda.
Ahora le chiste sería probar que lambda no puede ser un número negativo. Se les ocurre cómo?
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