No es necesario (y supongo que no debe ser cierto) ver la continuidad de nada. Solo chequeas por definición que existe la derivada de la composición.

Si te trabaste en la demostración escribí lo que hiciste y te ayudo.

Mm yo tampoco estoy seguro qué hacer, una verguenza, pero buen. Me serviría más que directamente me muestres como es, pero lo que yo hice es (no mucho)
Ya ví que f no es diferenciable.. y después, la derivada por definición.

Me marea la composición, no estoy seguro qué hacer.. en principio se me ocurre quizás (aunque es una idea medio loca) que si aplicás Lagrange a alpha,
Y que como alpha es C1 es derivable y podemos suponer
Con lo cual lo que nos quedaba más arriba sería una de las derivadas direccionales de f en el (1,0), más explicitamente, en la direccion (s,k), pero no creo poder asegurar que todas existen, y de hecho, se me hace que no es siquiera cierto.
En fin, espero ayuda.

Bueno, eso me pasa por no hacer las cuentas jaja. Si operan bien el limite con eso que me quedó a mí, llegan a un límite que existe, así que ya está. (En partícular me quedo pero puedo haber hecho mal alguna cuentita, lo importante es que dá)
Preguntaría si está bien como lo planteé, aunque me parece que sí, es medio raro pero no le veo nada incorrecto.

Habría que ver como escribís bien lo de Lagrange pero me parece correcto.

perdon, en el 2, por mas q la funcion no sea diferenciable puede existir su diferencial (en este caso gradiente), yo calcule el gradiente por definicion en (1;0) y me dio el (0;0) entonces existe, y como alfa es C1 entonces tmb existen sus derivadas para todo t perteneciente al intervalo en cuestion, y como 0 pertenece al intervalo en cuestion, entonces la derivada de alfa existe en 0, entonces aplicando regla de la cadena a f compuesta con alfa me queda un producto de cosas que existen entonces existe la derivada de la composicion, o no?? no recuerdo que sea condicion necesaria que la funcion sea diferenciable para aplicar regla de la cadena
me dejaron con la duda, si alguien me puede dejarme tranquilo se los agradeceria!

La verdad es que no me acuerdo la regla de la cadena pero wikipedia dice que necesitas que sea diferenciable
http://en.wikipedia.org/wiki/Chain_rule ... dimensions

OJO! El gradiente no es lo mismo que la diferencial, y si no es diferenciable me parece que no se acostumbra a hablar de "la diferencial".

en todo caso igual estoy aplicando regla de la cadena a f compuesta con alfa, y no sobre f, nunca podria saber si f compusta con alfa es derivable o no... f no es dif, pero sus derivadas parciales existen, las de alfa tmb, no es suficiente?

En el articulo de wikipedia que puse dice claramente que las dos funciones deben ser diferenciables, aunque no soy experto y puede que valga sin esas hipótesis pero si vos usas un teorema y no chequeas las hipótesis el ejercicio está mal.

Fijate que además, si usas la regla de la cadena obtenés que la derivada de la composición con cualquier alpha da cero, lo cual se contradice con lo que yo obtuve.
En partícular fijate que alpha podría ser una recta que va hacia el (1,0), digamos, y en ese caso cuando haces la cuenta de la derivada por difinición, lo que te queda es exactamente la de la derivada direccional en la dirección de la recta alpha, lo que vos estas afirmando entonces, es que aunque f no sea diferenciable, el producto del gradiente con vector de dirección V [que es lo que te queda si usas regla de la cadena] siendo V el vector director de la recta, que podemos suponer de norma uno para simplificar las cosas, va a darme la derivada direccional en ese sentido, cuando claramente se necesita pedir que f sea diferenciable para que eso valga.

Muchas gracias por las respuestas!!!!!!
No me daba cuenta de escribir (h) usando Lagrange, entonces no podía avanzar.

Ahora sí justifico:
Primero: NO se puede usar regla de la cadena, de esto estoy segura, pues para poder usarla es necesario que sea diferenciable en R, (que lo es), y que f sea dif. en (t). Como (0)=(1,0), y f no es dif. en (1, 0), no se puede derivar usando regla de la cadena, por eso hay que componer y hacer por definición.

Segundo:Justifico Lagrange: es C1 en R, así que es derivable en R, entonces continua en R.
En particular lo es en [0,h], h en R. También es derivable en (0,h), Así, por Teo. Lagrange, Existe c en (0,h):
(h)=h´(c) +(0)
Sea ()´(c)=(s,k)
()´(c) es distinto de (0,0) pues de lo contrario (h)=
=(0), y esto no puede ser(hipótesis)

Ahora sí, tal cual lo hace Nachote,(sólo difiero algo en el resultado) hago la cuenta, y llego a

Por lo tanto la derivada de f0(0) existe, como queríamos demostrar.

Sigue faltando justificación, el problema es que el "c" que te da lagrange depende de h. Para cada h fijo existe un c que va cambiando. Podes pensar que c es una función de h (o sea c=c(h)), pero OJO! no sabés a priori que c sea continua solo sabés que c<h. No importa, s y t también son funciones de h y calculas el límite usando sandwich (creo).

Pero c esta entre 0 y h, asi que cuando h tiende a cero (como en el límite) alpha de 'c' tiende a la derivada de alpha en 0. Es más, inclusive si no fuera así, como solo nos interesa decir que el límite existe, y sabemos que alpha es derivable en cualquier lado de su dominio, realmente no importa quién sea c o en donde esté, lo que importa es que existe.
Y qué más hay que justificar? Alpha es una curva de R a R2, que si querés la podes ver como dos funciones de R en R, como es diferenciable es continua y de R en R se le puede aplicar lagrange a ambas coordenadas, con lo que podrías sacar el mismo resultado, si no te gusta trabajar con curvas.

Si, es necesario que sea 0 porque vos queres despues mostrar alguna formula, ademas puede ser que el limite no exista (en realidad no, por lo que dijiste antes)

Igual me acabas de hacer notar otro error:
http://en.wikipedia.org/wiki/Mean_value ... _functions

NO VALE lagrange para curvas!!

Mmm tenés razón, está mal aplicado. Igual insisto que redefiniendo bien, se puede aplicar (en este caso) con la misma utilidad.
si notamos que con funciones de R->R
Tenemos que la curva alpha es siendo Entonces,
por otro lado
Hay que notar que tanto como son reales. Por lo tanto denuevo tenés una función que llega a los reales, para las cuales por separado vale Lagrange. Osea, lo que podemos afirmar es que,
Siendo E igualmente
Teniendo en cuenta que s y t no tienen nada que ver entre sí, pero ambos están entre h y 0.
Haciendo esa construcción, si no me equivoco llegás a lo mismo que dije yo, solo que lo expresé mal, porque lo que te queda no es el gradiente de .

Edit: Uy no estaba prestando atención y no me di cuenta que te decía que alpha era cualquier curva. Hmmmm, la demostración así como está, está mal hecha para cualquier curva, pero separando alpha en 2 funciones ambas continuas de R en R, igual deberías poder llegar al mismo resultado se me hace, no? La diferenciacion que hace Lagrange para curvas, es que no vale para un pero si evaluas la derivada de cada coordenada en lugares distintos, supongo que si podés aplicarlo. (El problema es que se me hace que en general no tiene demasiada utilidad).
Si se te ocurre alguna manera de ver que esté mal decime.

Alfa no es un segmento, eso está mal también, intentá escribir todos los detalles asi queda y lo aprendés (con epsilon y delta me refiero).

No tan rápido! Estaba editando, jeje. Igual ya rendí hoy así que chau análisis. Ahora me instalo en el foro de álgebra.