Hola, alguien puede subir el final del 11/03?, o algunos ejercicios que recuerden?
gracias

Aca esta el final mar, pensalo y cualquier duda que tengas preguntame, yo hice todos menos el b y el c del primero y el 3 tengo dudas pero los demas creo que salieron.

Una pequeña corrección: en el 1) a) decía f´(x) > 0

Les dejo el 1) b) como lo resolvi yo
Voy a subir el resto cuando termine de pasarlos a LaTeX.

Si tenes razon che, ahora lo corrijo y te creo la resolución del ejercicio.

el 1 b) es falso. por ejemplo la funcion f(x)= x-1/2, no es igual a 0 para todo x entre 0 y 1. pero la integral da 0 en ese trecho.

El 3 sale usando la definición de derivada parcial

Respecto del 1b), coincido con la resolución de Uriel.

Zeitune, me parece que el ejemplo que ponés no ayuda, porque es verdad que la integral vale 0 cuando los límites son 0 y 1. Pero el enunciado dice que la integral se tiene que anular para cualquier intervalo contenido en (0,1), fijate que si los límites son, por ejemplo 0, 1/2, la integral no se anula, por lo que el ejemplo no sirve.

edit: el 4 sale, como dice Uriel con absurdo y TFI

Respecto del problema 1:

para el b) hice exactamente la misma resolución que Uriel, y creo que está bien.

el a) puse que era FALSO, pues tomemos la función f(x) = x^3. Esta cumple con todas las hipótesis del enunciado: es derivable en R y estrictamente creciente PERO no es cierto que su derivada sea siempre mayor que 0, pues f ' (0) = 0 ya que es un punto de inflexión.

en el c) también puse que era FLASO. Si pensamos f(x) = sen(x), es una función cuya integral impropia tal como está enunciada converge a 0 (se ve facil, ya que cada período integrado da 0), sin embargo la función NO converge a 0 en el infinito, sino que oscila.

edit: creo que en el c) pifié, porque acabo de darme cuenta de que dice que el codominio es de 0 a +oo, con lo cual habría que integrar solo la parte superior de la función y eso diverge :S, con lo cual no sirve.

Yo el 4 lo resolví por absurdo con el Teorema de la función implícita (TFI)

F es c1, R^2 es abierto.
Supongamos que grad(F) != (0,0) (distinto) en (1,0)
Entonces por TFI existe un intervalo abierto I alrededor de 1 (y que lo incluye) y un intervalo abierto J alrededor de 0 (y que lo incluye)
Si Fy != 0 => existe G:I->J c1 / G(x) = y y F(x, G(x)) = 0 para todo x perteneciente a I
Si Fy = 0 => Fx != 0 => existe H:J->I c1 / H(y) = x y F(H(y), y) = 0 para todo y perteneciente a J
Cualquiera de los 2 casos es absurdo pues la función solo se anula en (1,0) y en (2,3) => grad(F) = (0,0) en (1,0)

De la misma manera para el punto (2,3)

edito: 1a)FALSO, la explicación está más abajo

El 5 me daba eso (aunque no me acuerdo si el 2 se cancelaba o no, pero es algo menor). Se resolvía pasando a polares con 2<r<3 y el angulo entre pi/2 y pi.


En el 2do:
grad(F)(1,0) = (0,0).
Alfa la podes pensar como 2 funciones y ambas tienen derivadas pues es c1, Alfa = A = (A1,A2) => A' = (A1', A2')
Entonces cuando aplicabas la regla de la cadena al derivar te queda 0.A1'+0.A2' = 0
Y que no es diferenciable se veia con la recta x=y+1 (vale remarcar que en el punto la funcion vale 0 y el gradiente tambien)


El 3 yo lo resolvi con multiplicadores de Lagrange, porque es un máximo en el borde del conjunto.
Te daba que Fy = 0 y Fx = 2.Lambda.
Y Lambda no podía ser negativa xq de otra forma existe una dirección v y un punto P = (1,0) + t.v (P pertenece a D para un t chico) y F(P) > F(1,0) pues el gradiente es la dirección de maximo crecimiento y P = c.[grad(F)(1,0)] con c > 0 perteneciente a R
Pero esto es absurdo pues (1,0) es maximo absolute de F
Entonces Lambda >= 0
Entonces Fx(1,0) >= 0

Con el 3 me quedo algo de duda de si estaba bien. Mañana lo actualizo con el veredicto final

Uriel yo el 4 lo hice exactamente igual que vos, y el ultimo me da lo mismo que a ustedes.

El problema con la "demostración" del 1)a) es que tenes que demostrar que f'(c)>0 para todo c, pero el teo. de lagrange te dice que existe un c que depende de a y de b tal que f(b)-f(a)=f'(c)(b-a). De ningún modo podés garantizar que lo probaste para todo c. Por ejemplo en el caso de :




Por lo tanto el c que sirve es . No es muy difícil probar que c no es cero a menos que a=b=0.

Espero que se entienda, cualquier duda pregunten.

en el 2 no podias usar regla de la cadena porque justamente f no es diferenciable en (1,0).

holaa.una pregunta..quien tomo este final?
gracias!

Pregunta para el 1. a) El hecho de que f sea creciente y no "estrictamente creciente" me dice que puedo encontrar dos puntos a y b tales que f(a) = f(b) y teniendo en cuenta que si a es distinto de b, entonces

f(b) - f(a) = f'(c).(b-a)... ---> f'(c) = 0

Ahora, si f fuera estrictamente creciente, f' (x) > 0 para todo x?

No, ejemplo

claro es estrictamente creciente u.u me costó verlo xD

Hola!!!!!!
Quiero hacer una pregunta respecto del 2,
Coincido con Zeitune que no se puede usar regla de la cadena, pues f no es diferenciable en (1,0),
Entonces, estudio la derivada, (por definición) de la composición, y quisiera ver que esta derivada existe para t=0, y que esta función derivada es continua en un entorno del 0 para poder asegurar que la composición es derivable en 0.
Algo no me sale cuando lo intento, me pueden ayudar?????
gracias

No es necesario (y supongo que no debe ser cierto) ver la continuidad de nada. Solo chequeas por definición que existe la derivada de la composición.

Si te trabaste en la demostración escribí lo que hiciste y te ayudo.