Hola estoy acá con los finales viejos y surgió uno que dice asi : Sea F:R2->R de clase C1 tal que Existe un único punto (a,b) con F(a,b)=o Probar que el gradiente es nulo. Sugerencia: usar el teo de la funcion implícita.


NO se me ocurrio bien como usarlo(si alguien la tiene clara con eso sería de gran ayuda) asi que se me ocurrió lo siguiente y quisiera saber si está bieen.

RESOLUCIÓN: Sea G(x,y)=F(x,y) G:R^2-{(a,b)} Es continua para todo (xy)perteneciente a Dom g y es arcoconexo, QVQ => g(xy) > 0 ó g(xy)<0 para todo xy perteneciente a Dom g

Supongo la tesis falsa ,es decir, supongo P, Q distintos de (a,b) / g(P)<0<g(Q) => por bolzano R^n deberia existir una curva continua ø(t) contenida en Dom g con extremos en P y Q / G o ø (to) = 0 con to entre 0 y 1 , es decir si ø (to)=C , Cpertenece a dom g y G(C) = 0 que es ABS! => g(xy) <0 ó g(xy)>0 para todo (xy) distinto de (a,b) => F(a,b) es mínimo o máximo absoluto => por fermat R^n el gradiente es nulo
QED

esta bien asi? algun error?
además ,como se hace con implicita??

intenta escribirlo con Tex porque asi es muy dificil leerlo

No se entiende mucho, pero por qué decís quie es absurdo si vos supusiste que tu hipótesis inicial es falsa?

Por otro lado, me parece que la función implícita la usás de la forma en que

Considerás la curva y luego acordate que para definir la función implícita el gradiente no tiene que ser nulo en alguno de las coordenadas. Intentá demostrar por el absurdo, al intentar definir la función implícita, que nunca vas a poder definirla porque siempre lo vas a tener nulo. Me parece que también tenés que usar que es solo en y no en un entorno...

para mr max, como aseguras que C es distinto de (a,b)??

esta bien, perdona no vi como definiste G . igual aca te dejo como escribir expresiones en Tex porque sino es muy confuso viewtopic.php?f=4&t=3. ahh una cosa mas ya hay un post con el mismo ejercicio aca te lo dejo tambien viewtopic.php?f=37&t=1846. saludos!