Buenas Tengo este final que me da unos ejercicios que no se como escribir la respuesta aunque sepa la respuesta .


(No entiendo muy bien para que dice esto)

















EDIT: se veia todo mal porque estaba modificando... aprendiendo latex. Gracias por la data.
Saludos

el 1) ya esta en otro post (viewtopic.php?f=37&t=912) igual te dejo aca lo que escribi en el otro. y en el dos no entiendo bien lo que escribiste.

a) queremos ver que inyectiva. Entonces . Dados y supongamos que f no es inyectiva . luego por el teorema de lagrange con pero entonces pero por hipotesis y absurdo inyectiva

b) inyectiva estrictamente decreciente o estrictamente creciente. razonemos por el absurdo. negar lo anterior es decir si inyectiva monotona (tambien esta la opcion que f no sea monotona pero como f es continua sino es monotona ni estrictamente creciente o decreciente alcanza un maximo o un minimo en el interior de algun compacto, por ende en un disco alrededor del max o min f no seria inyectiva. por esta razon paso por alto este ultimo caso. igualmente la demostracion hecha en el punto c sirve para respaldar lo recien dicho.). se entiende por monotona constante monotona creciente y monotona decreciente . supongamos monotona creciente, las otras dos son analogas. si inyectiva entonces pero si es monotona creciente entonces pero si vale el igual entonces absurdo porque se contradice con que f sea inyectiva, etnonces f esctrictamente creciente. suponiendo que f es monotona decreciente se llega a la conclusion que f es esctrictamente decreciente y suponiendo que f es monotona constante se llega a la conclusion que f es o estrictamente creciente o estrictamente decreciente.

c) continua en por ser derivable. alcanza en particular un minimo en el compacto por el teorema de weistrass. Si el minimo no se alcanza en los bordes, luego por el teorema de fermat si llamamos al punto donde alcanza el minimo valor . Falta ver que . Dado entonces desarollando el ultimo modulo se tiene que cuando entonces se concluye que de forma analoga se hace con

igual mi punto b) no me termina de convencer la demostracion, habria que mejorarla o hacerla de vuelta, me parece que mande un poco de fruta xD
una aclaracion mas, te dice que la derivada no es necesariamente continua para que no uses el teorema de bolzano (teorema del valor medio) o el de bolzano-weirstrass con la derivada.

te cuento la idea del 2) tenes que hacer un desarrollo de taylor de orden 1 para la funcion. luego el resto es siempre cero pues el hessiano es cero. luego la f es igual a su diferencial y como el diferencial de cualquier funcion c1 es una funcion lineal entonces la f es lineal.

te dejo la del 4) tambien. sea la integral superior sobre f y sea la integral inferior sobre f. vos sabes que entonces y eso vale para todo epsilon mayor que cero. entonces vale que . y como la otra desigualdad vale siempre se concluye que f es integrable.

Yo al punto 1.B) y C) lo razoné distinto, supongo que está bien. Lo que dije fue lo siguiente

la idea del 1)b) esta muy buena, pero te faltaria justificar un poco mas porque no es obvio que si la derivada se anula en un punto entre c y d y f(c)=f(d), entonces f es inyectiva.