algun alma caritativa que me ayude.
Para , sea la funcion definida por:


a) Probar que para todo es un punto critico de
b) Para cada , decidir si es un maximo local, un minimo local o un punto silla.

Mis conocimientos de analisis estan un poco oxidados pero creo que es así:
calculas

evaluas en 0 y te da 0 sin importar a. Entonces ya tenes el item a)
Para saber que tipo de extremo es tenes que mirar la matriz de las derivadas segundas (el Hessiano ¿?)



Evaluando en 0 te queda una matriz

tenes que ver si es definida positiva o negativa o indefinida
No me acuerdo como lo hacen en analisis 1 pero yo lo se hacer con algebra lineal. Calculemosle los autovalores:

No me sale en el aire pero si dan los dos + es def + si dan los 2 - es def - y si da 1+ y 1- es
indefinida
Gracias por las correcciones

Hola, èste me tocò a mì en el parcial, y pensè que estaba bien, y CASI estaba bien, pero no, asì que puedo decirte exactamente, con correcciòn y todo còmo es.
Va bien como escribiò Quimey, pero cuidado cuando planteas el det del Hf, en fxy, y fyx falta un parèntesis, y entonces no salen las cuentas, te mando mi respuesta, a ver si se entiende:



si es pto. silla
luego, (0,0)es pto silla si

si (0,0) es minimo local
luego, (0,0) es minimo local si

si (0,0) es maximo local
luego, (0,0) es max. local si

si a=1,
f(0,0)=0, miro , que es siempre >0 en un entorno del 0
miro
luego, (0,0) es pto. silla si a=1

si a=-1,
luego, (0,0) es màximo absoluto de f.

GRACIAS

Noooooooooo =(
para averiguar que pasaba en el caso a= -1, me mande un analisis enorme que me ocupo como una hoja (y encima estaba mal) y era re facil como lo pusiste ahi !
porq no me doy cuenta de esas cosas basicas? =(

Es verdad, quise poner >0, ahora lo edito arriba, para que no traiga confusiòn, gracias

una consultita: si yo tengo
y digo que es igual a
y si el punto critico es y como para todo
entonces (0,0) es un minimo absoluto no???
plisss que sea así

Necesariamente si; pero mirá que en ese caso no es necesario hacer un estudio tan complicado; si tenés , puesto que x+y crece o decrece tanto como se quiera, y como , concluís que es un mínimo absoluto. Pero en ese caso, tenés infinitos mínimos absolutos; son los que se alcanzan en los puntos de la forma , es dedir, los que se hallan sobre esta recta. Luego, no es estricto este mínimo absoluto.

Si, gracia a Dios, ese era (y=-x) un punto critico en el recu.