Dejo este ejercicio que me trabó

2) Sea

a)Decidir si tiene extremos absolutos en y en caso de que existan, encontrarlos.
b)Decidir si tiene extremos absolutos en

La parte A es fácil (para mí), y solo la puse para acotar que, de estudiar el gradiente de en encontramos un único punto crítico, el , pero en la restricción D en el item B, que es lo que nos interesa, pertenece al interior de la misma.

Lo que hice fue, graficar la restricción. La primera ecuación nos da lo que está dentro y en el borde de una elipse, y la segunda, lo que está abajo de una recta con pendiente negativa que pasa por el origen y corta dos veces a la elipse (no sé si se lo imaginan, queda media torta ovalada (menos en realidad, no la corta a la mitad exactamente)).

El tema es que ahora no sé bien como encarar multiplicadores. Calculé las intersecciones, pero no se me ocurre como dividir la frontera o como estudiar en la restricción.

lo primero q deberias hacer es dejarlas separadas las dos restricciones: y

para g(x,y), haces un lagrange con la f(x,y) q te dieron.. eso te deberia de salir, sino avisa.. te tiene que quedar q los puntos son (3,0), y (-3,0) (este último no cumple la condicion de , asi q no te sirve..

para h(x,y), haces una parametrizacion, decis que , despues haces
eso lo derivas y te queda .. sabes desde el cbc que la derivada de una funcion igualada a 0 te quedan puntos criticos ahi, asi q sacas q si por lo que y sera -1/36 (esto sale de que )

los puntos que te quedan son:
(0,1/6) que lo sacaste con el gradiente
(3,0) que lo sacaste con lagrange sobre g
(1/12, 1/36) que lo sacaste parametrizando h

evaluas los 3 sobre f y te queda que
(0,1/6) es minimo absoluto
(3,0) es maximo absoluto

espero q se haya entendido todo..
si te queda alguna duda pregunta

Yo lo hice sin usar multiplicadores de Lagrange y creo que está bien.

Cualquier cosa por favor corrijan.

OJO! Están mandando un poco de fruta en el punto a). Miren el siguiente ejemplo:

Esta función no tiene ni mínimo ni máximo absoluto en los reales (porque no es acotada, hacer un dibujo). Pero si tiene extremos locales.