En el punto A te pregunta sobre extremos locales y absolutos en el conjunto abierto, te faltó poner que (1,0) es un minimo absoluto ademas de local. Fijate que la función es paraboloide hacia arriba, convexo.

En el punto B yo usé multiplicadores porque tenía miedo de confundirme con la parametrización y esas cuentitas, que no son dificiles pero por ahi se te pianta algo.

Cierto Igual yo no me hubiera dado cuenta que es un mínimo porque es un paraboloide...yo solo porque es el mas chico de todos los puntos críticos que encontré xD Todavía me falta mucha práctica para acordarme que forma tienen las famosas, tipo paraboloide, cono, cilindro, sillas de montar, etc.
Lo corrijo ahora, gracias!

Me quedó la duda...
En el punto preguntan por extremos absulotos, el punto que encontraste es un mínimo absoluto claramente, y los máximos? cómo se justifica que no tiene)
Cuando tenía que justificar que no había máximos absolutos en una función en general, no en conjunto en particular, tomaba una curva por la que la función se iba a y listo, pero no supe como hacerlo en el ejercicio

Decis que en el abierto no tiene tiene maximo y ya, no tiene porq tener maximo en un abierto

Quise editar y cité

Algumenté diciendo que tenía un solo punto crítico y que era un mínimo, pero no creo que sea suficiente justificación.
O sea, si para justificar en una función que no tiene máximo absoluto tengo que encontrar una curva por la que se vaya a (R2 es un abiero aligual que ), ¿por qué en el caso del ejercicio bastaría con ver que no hay otro punto crítico y en el caso general no?

Uhhh, no vimos lo del mapa del gradiente nosotros...
Ya fue, le pregunto a los de la práctica cuando devuelvan los parcieles.
Gracias ^^

Me parece que lo que te había dicho antes estaba bien, no hay máximos porque es el unico punto crítico (que en este caso es mínimo).
Leyendo esto que puso Exe en :

Teorema : Sea diferenciable en . Si es extremo de entonces

Definición : Los puntos que satisfacen se llaman puntos críticos de . Luego, una función diferenciable en , satisface que los posibles extremos deen son los puntos críticos de en .

Bien a lo bruto, si tu función crece y el gradiente no se te anula nunca, entonces nunca va poder pegar un giro para ir para abajo. (cuando lean esto me van a querer matar)
Pensalo en una variable.

Si, yo lo pensé asi también. Si tengo un plato de sopa (continuo en un cerrado y diferenciable en un abierto) que estrictamente crece, y le encontré el mínimo, y solo me falta checkear el borde, se que puedo tomar cualquier punto suficientemente cerca del borde, y va a ser mas chico que o igual a el borde, simplemente porque el plato es continuo en el borde. Aunque haya cosas raras en el borde, no puede irse muy lejos porque es continuo. Osea, no tiene "tiempo" de doblar suficiente, en un espacio infinitesimalmente finito como es el borde, y convertirse en un mínimo mas chico que el mínimo que encontré en el centro del plato.

Ahora, si tengo un plato playo (osea no curvo), no supondría que vale - el borde puede justo ser un poco mas bajito que el "mínimo" que encontré, que sería toda la superficie del plato. Igual todo esto es intuitivo, la prueba está en que encontrás todos los puntos críticos, y de los 3, uno es máximo abs, otro mínimo abs, y el otro es "algo" local (habría que hacer algún análisis posterior para ver si es mínimo local o máximo local, pero el ej. no lo pide).