Sea de clase C1 y supongamos que existe tal que y .
Demostrar que tiene infinitos ceros.

Ni idea

Creo yo que la cosa viene por acá...

Sale aplicando Teorema de la Funcion implícita

Pista:

Primera solución (usando el teorema de Bolzano):

Aprovecho para contarles que voy a estar manteniendo esta (y otras) secciones del foro con Quimey. Haciendo eco de algunas soluciones propuestas, doy una solución usando un poco de tecnología. La idea, esencialmente, es que si nuestra función se anula en un punto, debe de hecho anularse sobre un segmento de curva. Vamos a formalizar esto. Sea en cuestión, y supongamos que 0. Por hipótesis, no se anula: podemos asumir que no se anula la primera coordenada, es decir que . Si consideramos la ecuación , podemos usar el teorema de la función inversa para obtener una funcion y un entorno tal que se cumple la ecuación para cada en ese entorno. Por el teorema es continua (de hecho es ) asi que pasa a ser un camino (con infinitos puntos distintos, en vista de la primer coordenada inyectiva) donde se anula.

Observen que esto se generaliza a cualquier función : den un argumento de porque puede reducirse al caso ! En la solución de Quimey, estamos usando que el plano Euclídeo menos finitos puntos es arcoconexo (de hecho pueden tomarse arcos poligonales). Como yapa para el fin de semana, dejo el siguiente ejercicio: ver que el complemento de en tiene la propiedad de que cualesquiera dos puntos pueden conectarse por una sucesión finita de segmentos rectos.

Obviamente esto no es en esencia distinto a lo que ya dijeron, pero quería hacer un comentario.
El approach de Quimey funciona porque uno siempre puede hacer que la curva que conecta e "esquive" todos los ceros de , pues éstos son finitos. Este hecho es intuitivamente obvio, pero puede pasar que escribir una demostración formal y correcta del mismo no resulte tan simple, sobre todo para los que recién empiezan. (Igual piénsenlo!)
Una manera de evitar usar esto es la siguiente.