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Advertencia: este es un post muy on topic y muy jodón.
Faltó el axioma de elección: Dada una familia de conjuntos , existe un conjunto A tal que para todo I existe un único elemento tal que . Es decir, dada una familia de conjuntos, podemos elegir un elemento de cada uno de ellos, y armar un nuevo conjunto.
Piénsenlo para conjuntos finitos: es obvio. Por ejemplo, si me dan todos los conjuntos de la forma {1}, {1,2}, {1,2,3}, etc... elijo el 1 en el primero, y en cada uno elijo el que sobra de los anteriores.
Para que vean que no es tan inocente como parece, piensen lo siguiente. Hay un conjunto (se llama el conjunto de Vitali), que se arma así. Tomemos la siguiente relación de equivalencia en los reales. Decimos que si y solo si . Efectivamente es una relación de equivalencia. Tenemos entonces las clases de equivalencia, que son una familia de conjuntos: para cada número real, tenemos una clase de equivalencia. Por el axioma de elección, que es una propiedad de los conjuntos, podemos armar un conjunto de la siguiente manera: de cada clase de equivalencia, agarramos un único elemento, y lo ponemos en nuestro nuevo conjunto, llamémoslo . Si alguien puede imaginarse la pinta que tiene ese conjunto, y convencerme de ello, le regalo un marroc.
Alguans consecuencias del axioma de elección:
- Es posible partir una esfera en cinco pedazos, reordenarlos y obtener dos esferas idénticas a la original.
- Hay conjuntos en el plano a los que no tiene sentido asignarles la noción de "tamaño" de ninguna manera.
- Dados dos conjuntos, o tienen la misma cantidad de elementos, o uno tiene más que el otro (y viceversa, si esto es cierto, entonces vale el axioma de elección).
- Se puede hacer inducción "más allá del infinito" (se puede demostrar cosas por inducción para los reales, por ejemplo).
- El producto cartesiano de infinitos conjuntos es no vacío (!).
Vuelvan al mundo real, no podía no agregar esto.
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