Ejercicio 2 Sea el conjunto de los primeros primos positivos. Se eligen primos de este conjunto con repeticion y se multiplican para obtener el numero .
a) Cuantos distintos pueden obtenerse que terminen en cero y tal que no divida a $n$ para ningun primo?



b Cuantos distintos pueden obtenerse que tengan exactamente 45 divisores positivos?

La cantidad de divisores positivos de un número, una vez conocida su factorización por primos positivos, se calcula como el producto de sus exponentes mas uno cada uno. O sea, si resulta ser la cantidad de divisores positivos (para el primer primo tenés entre el 0 y para elegir, para el segundo...). Esto te dice que si tenés divisores positivos, al ser , puede ocurrir:
a-haya un primo tal que y no .
b-que sea (hay tenés justamente 45 divisores).
Si vemos a-, solo tenemos que elegir un primo . Si seguimos b-, en base a que nos queda un factor , y , pueden solo ocurrir:
-o que haya un solo primo tal que y no
-o que haya dos primos tales que pero no.
Esto nos dice que todos los casos que tenemos son:
-
-
-
(Estoy usando en que es primo, luego solo se factoriza como . Esto quiere decir que no puede tener primos de potencias más chicas que 4, sin contar los eventuales de después.
Contando los primeros y sumando los segundos(son casos disjuntos) tenés la cantidad que se buscaba.
Espero que se haya entendido lo que señalaba(me parece bastante confuso lo que escribí, pero la idea es sencilla). Si los exponentes suman entre todos exactamente , no se verifica el enunciado. tiene 46 divisores positivos con p primo, y la suma de los exponentes es exactamente 45.
Saludos.

El signo de . O sea, si es un entero distinto de 0, la factorización es única si admito . De esta maner podés elegir la factorización con primos todos positivos. Perdón; terminó confundiendo.

ahhhhhhhhhh jajajja, okis, igual no me cierra todo el ejercicio aun. Mejor le digo a Stanis que me lo explique en persona el viernes que así es más fácil de entender =P
Gracias igual exe ^^

Pongo un caso más sencillo. Suponete que tenés los primeros 3 primos y te preguntás lo de . Entonces . Uno sabe que la cantidad de divisores positivos es (o sea, para 2 puede elegir la potencia 0, 1, 2, ..., , para 3 0, 1, ..., , y lo mismo para el 5). Ahora, tenés . Como:



tenés que todas las descomposiciones por 3 números naturales de 45 son esas. De acá correspondes cada con alguno de los factores en cada caso, y salen las potencias que había elegido antes. En el caso del ejercicio, es lo mismo, pero pensándolo de manera más general. Espero que contribuya a aclarar esto. Saludos.

ahh!!!!!!!!!! ahora siiiiii (soy feliz ^^)
gracias, además no sabía que podían calcularse de ese modo los divisores. Me viene bárbaro

Gracias Exe!!!!! =)

Buenas.
Estoy intentando la parte (b) del ejercicio y dudo que mi resolucion sean correcta; quiza podrian corregirmela:



Siento que hice cualquier cosa jaja, por favor diganme!

Saludos!

me parece que esta bien, no estoy seguro que hayas chequeado todas las posibilidades de escribir al 45 como producto de cosas, pero si lo hiciste, deberia estar bien.