Hola!
bueno a ver...
Fijate que el polinomio derivado tiene a -1 por raíz que también es raíz de P. Cuando lo factoricés te quedaá algo así:
donde Q tiene grado 13, aparte Q tiene coeficientes reales.
Claramente P'' tiene como única raíz al 0, que no es raíz de P, luego P no tiene raíces de orden 3 o mayor.
Como tiene coeficientes reales, si tiene raíces complejas, tienen que venir de a pares conjugados (esto porq ue si z es raíz su conjugdo tmbién , en polinomio s reales) así que seguro tenés una raíz real más, digamos r. Ahora, los únicos número reales que resuelven P'=0 son 1 y -1, pero es claro que 1 no es raíz, luego esa raíz que tenías, la r, debe ser simple.
Es decir que hasta ahora tenés -1 raíz doble, una raíz real r simple, y te queda un polinomio con coeficientes reales de grado 12.
Ahora bien, siendo una raíz 14 de la unidad (no necesariamente primitiva) ocurre que :
esto ocurre sí y sólo sí o sea que LA ÚNICA RAÍZ DOBLE de este polinomio es -1.
Finalmente las raíces complejas deben ser 12, así que entotal hay 14 raíces distintas.
espero que se entienda