Bueno, la idea es hacer un resumen con las propiedades indispensables a la hora de encarar un problema que tenga números complejos. Si creen que hace falta agregar propiedades, solo postéenlo(solo he obviado la definición de la suma y producto de números complejos)

, denota al conjunto de los números complejos. Los números complejos se representan usualmente en forma binómica; sea , su forma binómica es .
La parte real y la parte imaginaria de se denotan respectivamente . En el ejemplo anterior, . También suelen notarse
A la hora de representar geométricamente los complejos, puede pensárselos como vectores en , siendo el eje ''x'', el eje real y el eje ''y'', eje imaginario.
-PROPIEDAD: .
DEFINICIÓN 1: se define el módulo de un número complejo
, como
DEFINICIÓN 2: sea , se define el conjugado de z, y se nota , al número complejo:

.

PROPIEDADES: Sean ,

-. Esta propiedad, se puede extender inductivamente a n números complejos:



-. Esta propiedad, se puede extender inductivamente a n números complejos:

. Un corolario inmediato es

-

-. Análogamente, . Un imaginario puro tiene

-. De esta propiedad, se define el inverso multiplicativo en :


-

-. Se deduce
-
-
-

Los números complejos, salvo el , se expresan de forma única . esta expresión se llama expresión trigonométrica
del número complejo(también expresión en coordenadas polares). Si

TEOREMA DE MOIVRE: sean ,se cumple:
.

PROPIEDADES DEL ARGUMENTO: sea . Sea la relación de equivalencia sobre definida (es decir, difieren en una cantidad entera de vueltas). Se verifica:
-
-
-
-
-
-

Se define , el grupo de las raíces n-ésimas de la unidad. Valen las siguientes propiedades:
-, es decir, tiene exactamente n elementos.
-
-
-
-
-
-. En general,
-
-
-
-

DEFINICIÓN: Sea . es una raíz enésima primitiva de la unidad si y sólo si satisface .
PROPIEDADES:( denota conjunto de las raíces enésimas primitivas de la unidad)
-. Es decir, todo elemento de es potencia de una raíz primitiva
-
-
-.

-, es decir, la suma de las raíces enésimas de la unidad es 0

-, es decir, el producto de las raíces enésimas de la unidad es 1 o -1, según n

Estas son todas las propiedades que encontré útiles para resolver ejercicios. Si quieren que agrege más, o complete, posteen con la sugerencia. Además, si quieren que escriba la forma exponencial de los números complejos, también indiquen. Espero haber ayudado, aclarado y no haber cometido errores. Saludos.

Te sarpaste con el topic! te fuiste al carajo! Sos un grosso!
Se agradece Mil

Muy copado!!

En la propiedad del conjugado queria agregar esta:




que la dijo Yossarian respondiendo a un post mio y no muchos la saben...de hecho en el ejercicio q postié era extremadamente útil,jeje,fijate si despues la podes agregar por ahi


Muy bueno el resumen!

Fijate que está, pero no vale para todos los números complejos; vale para los de módulo 1, en particular, para . La puse en propiedades de

okokok....Interesante dato =)

jajaaja, qué desastre. Ni siquiera se poner bien el resultado final, aún cuando lo tengo escrito. Ahora lo cambio, gracias

Ya que estamos, ¿existe alguna propiedad para la suma de las raíces n-ésimas primitivas de la unidad?

Si, la suma de las raices n-esimas primitivas de la unidad da

Lo que se puede hacer para no acordarse de eso es plantear que la suma de todas las raíces n-ésimas de la unidad dan 0, sabiendo que vale para cualquier sólo basta con ir jugando con los otros y viendo a que otro pertenecen.

Son divertidos esos que te piden averiguar cuanto vale una suma de raíces n-ésimas

Primos distintos significa distintos, en tu caso 4=2*2 que no es producto de primos distintos, entra en el si no

Quiero agradecer a ezequiel y a todos los que colaboraron con este resumen, me fué realmente muy útil!!!

La Sumatoria de las raíces de un primo
Ya que

Donde el * señala las raíces enésimas primitivas

Y sabemos que :
. Está en el primer post
.
. Esto vale para cualquier numero menos el 1

Entonces:


Fin y espero no haber dicho ninguna burrada

Está bien, y esa demostración se puede escribir mas en general para demostrar lo que dije (aunque no es necesario en algebra 1)

Excelente aporte exequiel, gracias, me fue util