Ejercicio 1. Un conjunto de fórmulas proposicionales se dice independiente si y sólo si para toda sucede que .
Demostrar que es independiente si y sólo si todo subconjunto finito de es independiente.

Ejercicio 2. Se dice que una función tiene un valor infinitamente alcanzable si existe un elementeo de la imagen de tal que el conjunto es infinito.
Mostrar que no es expresable en primer orden la proposición " tiene un valor infinitamente alcanzable".

Ejercicio 3. Decidir si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa y justificar.

i) Si es un conjunto insatisfacible de fórmulas proposicionales, entonces es satisfacible.

ii) Si es un conjunto insatisfacible de fórmulas proposicionales tal que es satisfacible, entonces en hay al menos una contradicción.

Ejercicio 4. Sea el modelo usual de los números naturales con la constante cero y la relación "es menor igual a". Considerar un lenguaje de primer orden con igualdad con un símbolo de constante 0 y un símbolo de predicado . Sea la siguiente axiomatización que extiende con los siguientes axiomas:

S1
S2
S3
S4
S5

a) Demostrar que el axioma S4 es válido en .
b) Demostrar que no es completo respecto a .