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Duda: teorema de Hilbert
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Autor:  rober [ 06 Jul 2009, 14:43 ]
Asunto:  Duda: teorema de Hilbert
El teorema de la base de Hilbert dice que si A es un anillo noetheriano entonces A[x] también lo es.
(ejercicio 23 de la práctica 5)
En el ejercicio 24.- c) de la práctica 5 dice:
Sean M un A-módulo y f un endomorfismo de M en M. Si M es noetheriano y f es un epimorfismo, f es un automorfismo.

Cuando probé este último ejercicio me quedé pensando en un ejemplo de un epimorfismo que no sea automorfismo. Quimey me sugirió el operador D (derivar) en k[X]. Claramente D es un epimorfismo (cualquier polinomio P es el derivado de una de sus primitivas), pero no es monomorfismo porque manda todas las constantes al cero.

Acá viene la duda: Como D no es automorfismo pero sí es epimorfismo, entonces (por el ejercicio 24.-c) ) debería fallar que k[X] es noetheriano, pero esto contradice el teorema de Hilbert.

Alguien puede ayudarme, ¿qué es lo que estoy razonando mal para llegar a esta contradicción?

Saludos,
Roberto.
Autor:  Quimey [ 06 Jul 2009, 15:04 ]
Asunto:  Re: Duda: teorema de Hilbert
El problema está en que la noción de nötheriano depende del anillo con el que estoy trabajando. Lo que dice el teorema de Hilbert es que k[x] es nötheriano como k[x]-modulo (i.e. toda cadena de k[x]-submodulos se estaciona) mientras que en el ejemplo de la derivada yo lo estaba pensando como k-modulos (pues derivar es k-lineal pero no k[x]-lineal).
De esta diferencia proviene la "contradicción".
Es correcto que k[x] es nötheriano como k[x]-modulo pero no lo es como k-modulo.
Autor:  rober [ 06 Jul 2009, 17:41 ]
Asunto:  Re: Duda: teorema de Hilbert
Clarísimo Quimey! ahora voy a poder dormir tranquilo :)
Muchas gracias por la pronta respuesta.
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