El teorema de la base de Hilbert dice que si A es un anillo noetheriano entonces A[x] también lo es. (ejercicio 23 de la práctica 5) En el ejercicio 24.- c) de la práctica 5 dice: Sean M un A-módulo y f un endomorfismo de M en M. Si M es noetheriano y f es un epimorfismo, f es un automorfismo.
Cuando probé este último ejercicio me quedé pensando en un ejemplo de un epimorfismo que no sea automorfismo. Quimey me sugirió el operador D (derivar) en k[X]. Claramente D es un epimorfismo (cualquier polinomio P es el derivado de una de sus primitivas), pero no es monomorfismo porque manda todas las constantes al cero.
Acá viene la duda: Como D no es automorfismo pero sí es epimorfismo, entonces (por el ejercicio 24.-c) ) debería fallar que k[X] es noetheriano, pero esto contradice el teorema de Hilbert.
Alguien puede ayudarme, ¿qué es lo que estoy razonando mal para llegar a esta contradicción?
Saludos, Roberto.
Quimey
Asunto: Re: Duda: teorema de Hilbert
Publicado: 06 Jul 2009, 15:04
1er Licenciado
Registrado: 05 Jul 2008, 14:02 Mensajes: 1166
El problema está en que la noción de nötheriano depende del anillo con el que estoy trabajando. Lo que dice el teorema de Hilbert es que k[x] es nötheriano como k[x]-modulo (i.e. toda cadena de k[x]-submodulos se estaciona) mientras que en el ejemplo de la derivada yo lo estaba pensando como k-modulos (pues derivar es k-lineal pero no k[x]-lineal). De esta diferencia proviene la "contradicción". Es correcto que k[x] es nötheriano como k[x]-modulo pero no lo es como k-modulo.
_________________ Quimey
rober
Asunto: Re: Duda: teorema de Hilbert
Publicado: 06 Jul 2009, 17:41
Vago
Registrado: 05 Jul 2009, 23:58 Mensajes: 5
Clarísimo Quimey! ahora voy a poder dormir tranquilo Muchas gracias por la pronta respuesta.
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