Sea un espacio métrico conexo y sea conexo. Si es una componente conexa de , probar que es conexo.

Necesito ayuda para terminar de resolver el ejercicio, sospecho que en el fondo me estoy mareando con la noción de abierto relativo a un conjunto. Planteo lo que hice:

Planteo que no es conexo, entonces la idea es encontrar un conexo H distinto de C, tal que . Entonces eso sería absurdo porque C es componente conexa de X-A.
Entonces X-C no conexo, entonces . Con U y V abiertos y cerrados en X-C. Por otro lado, como A es conexo, asumo que A está incluido en U (notar que ). Entonces digo que es mi candidato para llegar al absurdo de antes. Quiero probar qeu es conexo. Si no lo fuera, . Con y abiertos y cerrados en . Como C es conexo, asumo . Entonces en realidad es abierto y cerrado en V y como V es abierto y cerrado en X-C, es abierto y cerrado en X-C.
Y ahora viene la parte que no pude probar bien, quiero probar que entonces es abierto y cerrado en
Y como X es conexo, eso no podría pasar.

http://cms.dm.uba.ar/academico/materias ... ucion2.pdf

(tiene un error la demo del dm? Dice V abierto y cerrado con respecto a U).

es abierto y cerrado en por definición de conexos. Ya probaste que es abierto y cerrado en . Entonces es abierto y cerrado en la unión.