(1)a)Sea un espacio métrico, y .Definir una función continua tal que y .
b)Sea un espacio métrico no compacto.Definir una función continua no acotada(Sugerencia:usar la parte a)).

(2)a)Sea un espacio métrico totalmente acotado e un espacio métrico;sea una función uniformemente continua y sobreyectiva.Probar que es totalmente acotado.
b)¿Sigue siendo válido el resultado si es solamente continua(y sobreyectiva)?

(3)Dada una función,definamos para cada .Si es equicontinua en .¿Qué conclusión se puede sacar de ?

(4)Sea un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales.Definir una norma (Para ello,admitir el axioma de elección y usar el corolario de que todo espacio vectorial tiene base)

(5)Sea continua,tal que .Probar que o bien ,o bien tiene un único punto fijo.

Hola! Del ejercicio 5 no me está saliendo la parte de la unicidad si f no es la identidad.... Alguna sugerencia?
Muchas muchas gracias!!!

Una pista:

Claro, eso ya se sabía: como tiene inversa (es ella misma) es inyectiva. Luego, es creciente o decreciente. Lo que yo pensé es que, en el primer caso, f(0)=0 y f(1)=1 (porque si no tendría que volver, entonces no sería inyectiva, etc...). En el medio, no puede tener ninguna "panza" porque, en ese caso, al invertir, no queda igual, ya que la inversa es simétrica con respecto a la recta y=x. Por lo tanto, no le queda otra que ser lineal, o sea, la identidad porque es la única que pasa por esos dos puntos. El problema es que no sé cómo escribir bien eso, cómo justificarlo correctamente. Si la función fuera derivable es más fácil porque podés usar el criterio de la derivada segunda y la derivada de la inversa por el tema de la concavidad.
En el caso decreciente, f(0)=1 y f(1)=0. Y en el medio tampoco puede tener panza por la misma razón. Entonces, tiene que ser f(x)=1-x.
Pero no sé si está bien ni cómo justificarlo. Hasta ayer estas eran todas mis conclusiones.
Saludos!

Afirmación:
Si f es creciente y entonces .

Prueba:
Por el absurdo. Supongamos que existe tal que . Hay dos opciones o .
Si aplicando a ambos lados de la desigualdad obtenemos (la desigualdad se preserva porque f es creciente) y por lo tanto , absurdo! El otro caso es igual.

También vale que si f es decreciente y entonces f tiene un solo punto fijo pero te dejo para que lo demuestres vos.

Perfecto, gracias, ya le agarré la onda. Estuve pensándolo un montón, pensé que iba a ser más rebuscado.
Si f decrece, agarro dos puntos fijos (a y b) y supongo que a < b. Luego, f(b) < f(a). Como a y b son puntos fijos, b < a. Absurdo.
Ahora supongo la otra desigualdad, hago lo mismo y llego a una contradicción de nuevo. Por lo tanto, b=a.

Hola! Por alguna chance alguien hizo el 1. b?

Para el 1.a usé una función partida:

Para aprender latex acá tenés un poco de ayuda
viewtopic.php?f=8&t=5

En cuanto al ejercicio, así como está definida tu función deberías probar que es continua.



y para la parte b, sugerencia:

Gracias!!



(Lo edité, había propuesto una solución con la misma idea pero que estaba mal.)