Ejercicio 1. Caracterizar todos los espacios métricos no conexos tales que todo subconjunto propio abierto es conexo.

Ejercicio 2. Sea Se define como

i) Probar que está bien definida, que es lineal, continua y calcular su norma.
ii) Probar que es inyectiva si, y solo si para todo
Mostrar además que si entonces resulta un isomorfismo.

Ejercicio 3. Sea la serie

i) Hallar los donde la serie converge.
ii) Probar que la convergencia es uniforme en para todo
iii) ¿Converge uniformemente en ?

Ejercicio 4. Sea una función derivable en que verifica que y que para todo

i) Probar que tiene un único punto fijo
ii) Dado cualquier se define la sucesión Probar que
iii) para todo

Falta el último que no me lo acuerdo, después lo subo.

1)