Dejo el exámen del martes pasado.

Ejercicio 1. Sea numerable. Probar que es conexo.

Ejercicio 2. Sea un hiperplano en
Probar que tiene exactamente dos componentes conexas.

Ejercicio 3. Para cada consideramos



Probar que la serie de funciones
i) Converge puntualmente en si , y la convergencia es uniforme en semirectas cerradas que no contienen al 0.
ii) Converge uniformemente en si

Ejercicio 4. Sean espacios de Banach y sea

i) Probar que son equivalentes:
(1) es compacto para todo acotado.
(2) Dada acotada vale que tiene una subsucesión convergente.

Decimos que un operador es compacto si se cumple alguna de las propiedades anteriores.
ii) Probar que es compacto si y sólo si tiene dimensión finita.

Ejercicio 5. Sea un espacio métrico compacto y conexo. Sea una familia de funciones equicontinua. Supongamos que existe tal que es acotado.
Probar que es compacto.

Que baile me comí... tremendo.

Se aceptan ideas sobre el 1. O el 2. O el 3. O el 4. O el 5.

1)