Bel pidió por mail, asi que aca está el final del 23 de febrero de Numerico con soluciones y todo. Cualquier duda posteen!

1) a) Sea , pruebe que Jacobi converge si es estrictamente diagonal dominante.
b) Pruebe que si y para cierto entonces las iteraciones convergen a un punto fijo tal que
c) De un ejemplo de una matriz tal que y sin embargo las iteraciones convergen a un punto fijo tal que .
(Sug. mire matrices de la forma ).

2) Sea . Llamando y a la función lineal a trozos que verifica se tiene que:
a)
b)
donde

3) Sean y polinomios de Tchebychev con . Verifique que son ortogonales en el producto interno dado por

(Sug. puede usar que
b) Si tuviera que elegir dos nodos para una regla de integración

qué nodos elegiría para maximizar la exactitud de la regla?. Que exactitud es esa?

4)Construya un metodo multipaso convergente de la forma

Que orden tiene?.

--- FIN ENUNCIADOS ---

Dos cosas que surgieron preguntandole a Acosta:
i) En 1)b) se puede asumir la existencia de un punto fijo tal que , según Acosta este hecho se debería desprender de la solucion, peeeero a mi no me quedo tan claro asi que fui y pregunte.
ii) La norma de la que habla 1)c) es una norma particular. Tiene que ser asi porque si para toda norma , entonces y no converge para algun dato inicial.

Las soluciones
1)a)

b)

c)


2)a)

b)


3)a)

b)


4)

miiiiiiiiiiiil gracias nachoo! :) las soluciones no las miro hasta la semana que viene, jaja :)

no se quien sos pero sos un genio !!! (Y)


GRACIAS!!!!!

una pregunta....

vos cursaste con acosta? porque el punto 2, ni idea... yo la cursé con armentano y me pa que no está eso en la teoría.

gracias

a mi mepa que no necesitas mucha teoria...

yo también me desesperé un poco cuando lo leí, pero me parece que es acotar el error en los intervalos y nada más... igual todavía no lo intenté, capaz que nada que ver. todavía no terminé con la teoría, me estoy volviendo loca con multipaso, no lo puedo entender :(

que parte no entendes?

no, en verdad creo que puedo resolver un ejercicio típico (como este), lo que siento es que es el tema que más flojo tengo "conceptualmente", o sea, no lo entiendo en profundidad, solo puedo aplicarlo :p
recién terminé con toda la teoría, (de entenderla, no de saber todas las demos :p)
ahora me voy a poner a hacer ejercicios modelo de cada tema, y después a aprennder los teoremas, y después a hacer finales viejos.
y ahora me voy a dejar de desvirtuar :P

2)...

Lo que no entendía (y creo qe ahora si) es "la función lineal a trozos"

Sería una poligonal que une los puntos P1 con P2, P2 con P3 y así... donde ?

O sea una interpolación lineal a trozos... ¿es eso o estoy mal?

hola de nuevo...

se comprende todo lo que hace "nachito" en el punto 1 b) pero tengo una dificultad apenas iniciado el ejercicio.

¿y si k no es natural? no se, digo por ej k=pi... no podés ir "saltando" de a pi elementos. Salvo que en la hipotesis se agregue eso, pues la hipótesis asegura la existencia d un k pero no dice qe sea entero

¿alguien me ayuda con esto?

Además... tampoco veo la relación yo más bien llego a algo así:

o podría pensarse:
total el término indep no importa demasiado... aunque para la convergencia capaz q si. ¿qe onda? ¿me equivoqué? ayuda con estooo1!!

yo la verdad no lo hice como lo hizo nacho, porque.. nada, ni ahí se me ocurre algo así, que involucre tantas sucesiones xd
supongo que algún error tendrá hacerlo así, pero yo lo que hice fue decir que , para algún n muy grande (más grande que k),




bueno, yo lo había pensado así, es mucho menos sofisticado pero también me resultó más natural con el tipo de demos que se hacen en la materia (seguro la de nacho es mucho más elegante, pero yo ni la entiendo :( jaja), así que por favor si alguien quiere contarme qué les parece...

Claaaaaaaaaaaro así si...

además acá vale para cualquier cá, y se ve clarito cómo necesitas que sea mayor o igual q uno... sino B^k se complica....

buenísimooo!! (Y) gracias

para mi está bien eh...

1 c)

en lugar de calcular B^n yo lo que hice fue usar que el radio espectral es menor qe uno, para una matriz muuuuy parecida (nomás que puse 5 en lugar de 10)

La diferencia es que la condición del radio espectral es necesaria y suficiente para que el método converja, en cambio la condición de que la norma sea <1 es sólo suficiente.

Así me ahorré un par de cuentas.. pues se ve clarito que el radio espectral es 1/2 y qe la norma infinito, o la uno, para el caso es lo mismo, es mayor que uno.

¿que les parece? ta bien, no?

Buenísimo que te haya parecido bien lo del 1-b)!
lo que decís del 1-c) me parece lógico, la verdad no se me ocurrió (tampoco se me ocurrió lo que hizo nacho igual u.u). Lo que hizo nacho así tal cual está hecho en el apunte (especulación: habría que mirar todos los ejemplos del apunte porque puede tomar alguno,jaja)

el 3 b mepa que está mal

T_2 no es el polinomio ortogonal... es el de tchevishev. El ortogonal me da otra cosa... conmás y menos ra[iz de dos sobre pi

me voy a jugar y vuelvo y lo escribo bien suerte

por lo que sé nacho se sacó 10, así que no debe estar mal :p
igual.. fijate que en el 3) a) probás que los polinomios de Tchebychev son, justamente, ortogonales para ese PI. Y como no necesitás hacer Gram-Schmidt porque ya tenés una Base Ortogonal, justamente los , no hace falta normalizarlos porque... bueno, lo que necesitás son las raíces, así que sirven sin normalizar. (uno en general normaliza sólo para haer GS)

Pero son ortogonales entre si, y Además esas dos funciones no generan P_2 como se querría

o sea T_m y T_n forman un conjunto ortogonal, que es base de un subespacio que no es P_2,

Cómo aseguras la precisi[on de la cuadratura con funciones que no son polinomios, si la definición de precisión (al menos la que yo tengo) es a partir de polinomios??

no entiendo !!

a ver... ahora me esta cerrando un poco más...

como T_n y T_m son ortogonales para valores distintoosde m y n sería que T_2 es orto a T_1 y a T_0 y esos tres son generadores de P_2 pues tienen grados 2 1 y 0.. ahora siii!!!!

listo!! gracias