El primero no me salio, despues subo el 2 y el 4. Que alguien por favor suba el 3 que no se ni por donde empezar.

Creo que para el 3, si aplicas las cosas que sabes de raices n-esimas adentro de los parentesis te quedan las potencia 0 hasta 5 de w, lo cual es 0 (porque w es primitiva), pero sobrevive w^1 (hay 7 terminos) que es primitiva, luego tenes que analizar el caso dependiendo n te va a dar distintas cosas, pero para algun n se vuelven a repetir porque da 0 de vuelta, ya que si tomas congruencia mod 6 en la parte de la sumatoria, (5n+6) te genera todo el sistema de restos modulo 6 (osea te volveria a quedar 1 + w + w^2... + w^5) Esto es viendolo muy en el aire, pero tal vez te sirve.

El 3 sale bastante facil si te acordas de las propiedades de las raices primitivas. Si mal no recuerdo, el enunciado era hallar n tal que esa sumatoria sea igual a 0.
En particular, si lo hice bien, sale de que si es raiz primitiva de y por otro lado, como , cosas como las podes ver como

Ah, no era tan dificil entonces. Y el primero como es? A mi me quedo algo muy raro

Yo intente hacer el primero sin mucho éxito, les dejo lo que hice, a ver si tire mucha fruta o la pegué en algo:

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Tenes otro tema creo.

Fijense que en el 1, lo que les dice el primer mcd es que 2, divide, osea a tiene que ser congruente a 1 modulo 2, pero 4 y 5 no (de ahi pueden ver a que es congruente a en esos restos (usando fermat)
y el segundo gcd dice que 5 si divide (ver a que tiene que equivaler a) y que 3 no.
Una vez que tiene esos restos, es decir, a mod 5, a mod 4, a mod 3, hacen teorema chino del resto y les queda a mod 60.

Claro, pero el problema de todas formas es que puedo concluir, por ejemplo, de solo basandome en que 4 no divide a . ¿Cómo puedo a partir de eso llegar a que es congruente a algo modulo 4?

Entonces como , se tiene que y . De la primera condición se deduce que . De la segunda deducís que y por lo tanto (hacé las cuentas y justificalo)

Saludos.

Muchas gracias! Me di cuenta donde estaba el truco, a ver si ahora va bien
Sabiendo que
Entonces veo que pasa con . Si Lo que es absurdo entonces.

Luego . Si uso que
Veo que la unica forma de que a sea solucion para ambas. Es solo con