Una aclaracion: el resto es siempre positivo. Luego tenes que siempre a partir de n>=5 el resto es 7.
La demostracion se puede hacer por induccion, aunque yo no la hice. Pero si lo "miras fijo" (no se porque los matematicos miran todo fijo) los terminos de la sumatoria a partir del 6to (inclusive) son siempre divisibles por 36. Esto es porque en la factorizacion del numero i! aparecen al menos un 2^2 y un 3^2 (o sea un 36). Cuando hagas la sumatoria completa, la separas en 2: la primera desde 1 hasta 5, y la segunda desde 6 hasta n. Cuando tomes congruencia mod 36, te queda que la primera sumatoria es congruente a 7, y la segunda, cualquiera sea n (siempre mayor que 5) es congruente a 0 por tener todos sus terminos multiplos de 36.
Saludos!
PD: perdon por no usar tex, igual no hay mucha formula
