Hola, nose como encarar este ejercicio

fijate que el conjunto A-B son los elementos de A que no están en B, si A-B es vacío quiere decir que no hay elementos de A que no estén en B, o sea que o A es vacío, o todos los elementos de A están en B, y por lo tanto A está incluido en B, tal vez pensandolo de esta manera, en términos de inclusiones sea más facil.

Acordate también lo que tenés que probar para ver si una relación es de orden, que sea reflexiva, antisimétrica y transitiva

A ver,si A esta incluido en B entonces
es reflexiva ya q A-A=0
es antisimetrica si A-B=0 como A esta incluido en B entonces se cumple
es transitiva si A-B=0 y B-C=0 qvq A-C=0, la primera parte ya lo probe, B-C=0 entonces B esta incluido en C entonces se cumple q A-C=0
es lo mismo decir si A es incluido igual a B, no?

Primero te respondo la última pregunta, te referís a si es lo mismo y ? A mi, cuando cursé álgebra 1 nos dijeron que si, que para indicar inclusión estricta sin que haya problemas con el símbolo mejor tachar la rayita de abajo .

Ahora en cuanto a las tres propiedades de la relación de orden. Vas bien, pero dejame aclarar un par de cosas que por ahi te interpreté mal. Primero que nada, estas tres propiedades son propiedades independientes, por lo que haber probado una de ellas, no significa nada para las otras, o sea existen relaciones que no son ni transitivas, ni antisimétricas, ni reflexivas, exiten otras que son solamente reflexivas, otras que son solo transitivas, y asi puedo seguir.
Cuando probás si la relación es reflexiva, tenés que probar que , es importante que es para todo A y que no tiene nada que ver entre lo que pasa entre A y otro conjunto B (ya que puede pasar que por ahí A se relaciona con cualquier conjunto distinto a si mismo, o por ahí algunos conjuntos sí se relacionan consigo mismo, y otros no. Y en estos casos no sería reflexiva).
Ahora veamos la antisimétrica:
Tenés que ver que si cada vez que
O sea si vos agarrás dos elementos de P(X), llamemosle A y B, y pasa que A se relaciona con B y B se relaciona con A, entonces en realidad A y B eran iguales, y resulta que en realidad habías agarrado dos veces el mismo elemento. Pero no significa que cualesquiera dos elementos van a estar relacionados entre si. Otra forma de entender la propiedad antisimétrica es pensar que en el caso de que A se relaciona con B, tenés que o B no se relaciona con A, o que son elementos iguales, se entiende más o menos la idea?.
Ahora la transitividad, tenés que ver que cada vez que un elemento A se relacione con un elemento B, y ese elemento B se relaciona con uno C, entonces A se relaciona con C. Si siempre pasa eso, entonces la relación es transitiva.

Okey, te entendi