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Este ejercicio tiene un asterisco lo cual quiere decir que es difícil, pero lo estoy pensando y me parece super interesante.
¿Cuánto da la suma de las raíces n-ésimas primitivas de la unidad si n es un producto de primos distintos?
Probando llegué a esto:
Si n es un primo da -1 (ya lo sabemos)
Si n es producto de 2 primos distintos da 1 (ya lo sabemos)
Si n es producto de 3 primos distintos da -1
Si n es producto de 4 primos distintos da 1
Si n es pruducto de 5 primos distintos da -1
Lo cual me hace sospechar que si el número de primos es par va a dar 1 y si el número de primos es impar va a dar -1.
La justificación (no formal) sería algo así:
Si n es un producto de t primos distintos, para sumar las raíces primitivas de Gn agarro la suma de todas y le resto la suma de las primitivas de cada Gp, con p los primos de cada factorización. Cada suma vale -1, por lo que estoy sumando -1, t-1 veces. Ahora resto la sumas de las raíces primitivas de Gpq, cada una da 1 y la cantidad de veces que resto es el combinatorio t,2 (o la cantidad de formas de elegir 2 elementos de t elementos). Luego resto la suma de las primitivas de Gpqs, que da cada una -1 (asumiendo que lo que dije arriba está bien), y la cantidad de veces que resto es el combinatorio t, 3.
Y así sucesivamente.
Para hacerlo formal habría que usar inducción global.
La razón por la cual el resultado depende de la paridad de t es que si t es impar hay dos combinatorios que dan lo mismo, por ejemplo el combinatorio 5, 2 es igual al 5, 3.
Copado para debatir, no?
Última edición por Nina el 17 Dic 2009, 13:53, editado 1 vez en total
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Nina
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