Te intento explicar más o menos cómo lo hice yo. Tened en cuenta que es uno de mis primeros (sino el primero) posteo en el foro así que mi manejo de Tex se centra en el copy-paste...

Demostrar para P(1) es fácil, te termina quedando que 1 + 1/3 > (1+3)/4

Luego suponiendo que es válido para P(n), te fijás si es válido para P(n+1).


Entonces aplicás la hipótesis inductiva, y te queda:


Teniendo eso, tenés que demostrar nomás que la sumatoria es mayor que para todo n con una nueva inducción. Yo esa parte no la hice porque... bueno, me dio fiaca, pero debería ser fácil...

No se si el primer término es mayor que 1/4, pensalo por ejemplo para n=2.

Creo que se puede resolver asi:
Veamos que vale lo siguiente:


como el termino de la sumatoria es siempre mayor o igual que . Y la sumatoria tiene terminos.
Por lo tanto podemos acotar a toda la sumatoria por , por para que sea mas comodo.
Luego lo que queremos probar vale si
(el mayor seria un mayor o igual pero no se como es el simbolo) (*)
Lo que es facil de ver si cancelamos el 2^n...

Nota: (*) debe ser mayor o igual, dado que por Hipotesis Inductiva sabiamos que MAYOR ESTRICTO.

Espero haber ayudado, soy medio enquilombado con las resoluciones :S