No pude hacer el 2b, lo podes subir o explicar mas paso a paso por favor. No me cierra que te pidan el plano tangente en R3 si h es R2

Entonces, como se hacer. Me tiras un paso a paso, por lo menos del principio

Creo que ahi lo entendi. Se que un plano tangente a un grafico esta dado por f(p)+fx(p)(x-x0)+fy(p)(y-y0)=z. Entonces usando eso saco hx(1,0) y hy(1,0) de la ecuacion del problema. Despues usando eso calculo F^-1(0,1) que es (1,0) y busco el gradiente de h en ese punto (Calcule a F inversa en ese punto porque lo pide el problema). Despues usando que hoF^-1(0,1)=1 me quedo que el plano tangente es: z=-2x+10y-9. Por favor que alguien me diga si esta masomenos bien lo que hice. Gracias por todo.

Como sacaste que el radio se mueve entre 0 y 1 en el 4?

Tenés que derivar la función y sacar el plano tangente al punto que te piden. Es lo mismo que hacías en la práctica de diferenciación, solo que acá vas a tener que usar la regla de la cadena y el teorema de la función inversa para conocer la derivada de . No hice las cuentas, pero si lo calculaste así seguramente esté bien.

Para el 4) tenés que hacer un cambio de variables conveniente (en polares) y seguramente llegues a que el radio está entre 0 y 1. Si hacés un dibujito de la región te vas a dar cuenta (un cuarto de elipse en el primer cuadrante)

Saludos.

Por eso, te queda un pedazo de elipse en el 2 cuadrante. Com sacas el radio de eso si x va a estar entre 0 y -3 e y entre 0 y 1? El de implicita lo entendi perfecto gracias

Hola, inkosoft el resultado al que llegaste en el 2-b) no esta bien, te tiene que quedar z=1+5x-2/5(y-1)
ya que el gradiente compuesto te queda ∇h(F^(-1) (0,1) )=(5,-2/5). Fíjate por ahí es solo una cuenta mal hecha.

Si me olvide de multiplicar por el DF^-1 tenes razon. Gracias.

Como te dije, el cambio tiene que ser "conveniente". No sé si lo vieron en la práctica o teórica, pero supongo que en algún lado lo mencionaron: cuando querés hacer cambios de variable, necesitás "preferentemente" una transformación lineal biyectiva con inversa continua , y después vieron que el cambio de coordenadas cartesianas a polares también servía (en realidad el teorema general te pide que sea un Difeomorfismo) La idea es que también podés componer estas funciones, o sea, ponele que tenés dos transformaciones lineales ambas biyectivas, con inversa continua. Si tenés que integrar sobre un dominio C, entonces la transformación lineal te va a servir para el cambio de variable y vas a terminar integrando sobre A.

¿Cómo se aplica esto al problema? Es muy simple: si tenés una elipse en vez de un círculo, mediante una transformación lineal la podés hacer un círculo. Después aplicás coordenadas polares al círculo y tenés tu dominio en un rectángulo. Entonces componés estas dos y transformaste tu dominio que era una elipse a un rectángulo.

Ahora vos pensá cómo te funciona esto para el problema, sabiendo que el dominio es como una "cuarta parte" de una elipse.

(Capaz parece más complicado de entenderlo así leyendo, pero la idea de componer transformaciones está buena para el cambio de variable porque es como que lo vas llevando de a poco a las cosas que ya conocés)

Saludos.

con respecto al 4) (X/3)^2+y^2<= 1 con coordenadas polares haces

(x/3)= r cos(θ) --> x=3r cos(θ)
y= r sen(θ)----> y= r sen(θ) luego calcula el modulo del jacobiano te da "3r"

θ sabes de donde a donde va. Para ver de donde a donde va r
reemplaza x e y en la 1° ecuación de arriba, reemplazando te sobrevive "(r^2)<=1" ya que la suma de sen y cos da 1,
luego sabemos que r>0 y r<1 -----> 0<r<1 reemplaza todo esto en la integral, te que da una mas simple y calculo. listo.

yo cuando lo hice, pensé que estaba acotando mal r, xq al ver el grafico de la elipse va cambiando el radio pero esto se arregla con el jacobiano, ya que te dice que la nueva área en la cual estas integrando es igual a la anterior.