Ejercicio 1. Sea definida . Hallar, si existen, los puntos críticos de y clasificarlos.

Ejercicio 2. Hallar, si existen, los valores máximo y mínimo absolutos de restringida a

Ejercicio 3. Analizar para cada valor real la convergencia de la integral impropia



Ejercicio 4. Calcular la integral



siendo

El 1 y el 2 no presentan mayor complejidad, me parece, pero sobre 3 y el 4 me gustaría confirmar la forma de resolución.

Ej 3: (borro mi solución porque estaba poderosamente mal)

Mirá el 3 lo resolvi asi en el parcial

Ej. 3

Eso es lo que yo hice y me lo pusieron como bien. Si necesitas la resolución del 4 decime.

Ufff, muchísimas gracias, creo que no iba a poder darme cuenta de que había que usar ese teorema.

Si podés mostrarme como se resuelve el cuatro te lo agradeceré mucho, entiendo que es haciendo cambio de variable (¿cilíndricas?) pero algunas sutilezas se me escapan áun.

ok ahora estoy haciendo algo en un rato te posteo lo que hice.

Bueno va el 4, este ejercicio no estoy muy seguro, pero creo que esta bien.

EDIT: Lo que sigue en este post está todo mal. Al hacer las coordenadas esféricas estás haciendo todo el helado, junto con el cono. No hay que separar en dos pedazos porque estaría integrando dos veces lo mismo. Además de que creo que está mal hecho lo mío.
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No entiendo cómo hiciste el 4. Me parece que hiciste mal por dos razones: primero que la esfera es de radio 1, no 2 (detalle), pero más que nada porque no es sólo una esfera. Es un pedazo de esfera y un cono.

Yo lo primero que hice fue DIBUJAR el espacio. Y me quedó como un helado de cono con una bochita arriba.
Entonces lo que hice fue integrar esas dos regiones por separado. Vos acá integraste todo en coordenadas esféricas, ¿entonces no estás solamente integrando la bochita?

Yo hice así, por si sirve ver otra idea:

Dejo el 2, parece bien resuelto pero me queda algo raro al final, por favor denle una mirada



Editado con una solución que parece completamente correcta y al menos no presenta incoherencias para mí.

Che, gracias. Ahora entendí. Yo lo hice mal. Tu resolución es la posta.

nota: actualicé el 2 con una solución correcta =)

Me parece que está mal el 2, osea si tomas los planos x,y,z >= 0 te da puntos críticos ahi el gradiente osea que tenes que evaluarlos. Y el ejercicio te pide > solamente. Tampoco hace falta ver la funcion como "multiplicación mas alta de variables" es decir no tenes que analizar la función en si mas que ver que es continua y que esta sobre un compacto, que son las hipotesis de Lagrange, una vez que cumple eso si o si alcanza al menos un maximo y mínimo absoluto y eso lo averiguas evaluando los puntos criticos obtenidos en la función. También no hace falta sacar el Hessiano si te piden solo absolutos con evaluar ya está.

De hecho Mr. Z y fool, yo le habia planteado ambas resoluciones al profe y me dijo q ambas estaban bien

¿Pero con coordenadas esféricas cómo integrás sobre una región así?

Fuente: https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_cap

no tengo las cuentas aca, pero creo q era

Básicamente en ese caso tenes que z>= a un número fijo, que seria el plano que corta ahi, suponiendo casos similares para y o x.
Luego al aplicar esféricas te va a quedar algo del tipo r.cos fi >= K, pasas el coseno para el otro lado y listo. r >= k/cos fi. theta sigue siendo igual de 0 a 2Pi y fi lo tenes que volver a calcular con trig.

Igual gahen ojo que en clase el compacto nunca lo tomaron cerrando los puntos que estaban abiertos, sino que achicaban un poco más la región y ahi lo cerraban y después daban algun argumento para el pedazito de afuera, por eso decia lo de los epsilons.

creo que la resolucion del 3 propuesta esta mal.. cuando saca factores comunes.. alguien podria revisarlo?? gracias desde ya

A mi me parece bastante bien, hay un pequeño error de tipeo (habría que cambiar un "+" por un "*") pero se entiende. Si tenés otra forma de resolverlo o querés explicar mejor por qué pensás que está mal yo puedo seguir mirando.

¿Alguien podría postear la solución del 1?
¡Muchas gracias!

Es igualar el gradiente a 0...

En el 1 tenes que analizar todos los casos posibles a mano, ya que el hessiano no te dice nada. Son todos puntos de ensilladura.