Sea de clase y sea definida por


Sabiendo que y , hallar el plano tangente a la superficie de nivel de en , donde .

Sean y sea la función definida por


Hallar el conjunto de los pares ordenados para los que tiene un punto crítico en .
Para cada hallado en el punto estudiar si se trata de un máximo, un mínimo o un punto silla.

Analizar la convergencia de la siguiente integral impropia:



Sea . Calcular

Alguien puede subir la resolucion del parcial por favor.
Gracias

Si tenés problemas con algún ejercicio posteá lo que hiciste y te ayudamos.

El primero no se ni por donde empezar.
El segundo es un poco más fácil. Sacas el gradiente y reemplazas con el valor de (xy) q te da y sacas el par (ab). Te da a=-b-1/4. Sacas la matriz Hessiana en el (1/2;1/2) y su determinante. Te queda (2a+2)*1/2 -1 y dividis en todos los casos posibles.

Para el primero te va a convenir usar el teorema de la función implícita.

Se que hay que usar y todo, pero no se por donde empezar. No se como usar la teoria para este ejercicio en especial, ahí es donde me quedo trabado.

Si llamás (para que te quede como en el teorema), entonces la te va a quedar . Hacés la regla de la cadena y la evaluás en el . Fijate cuál coordenada no se te anula y con esa aplicás el teorema de la función implícita y suponete que despejaste y te da un entorno al , un entorno del y una función de clase tal que .

Es claro que es una superficie de nivel que vive en . Para sacar el plano tangente en el fijate que lo que hiciste fue escribir una variable en función de las otras dos, o sea, que tenés tu función cuyo gráfico coincide con la curva de nivel alrededor de un entorno (pues sabés por el teorema que y esto es justo el gráfico de la , o sea )

Estas clase de funciones ya las conocés, entonces de ahí sacás el plano tangente en el punto. Es importante recordar que lo que hiciste es reescribir un entorno de tu superficie de nivel (en este caso el entorno que te da el teorema es el de ) como el gráfico de una función de 2 variables en un entornito .

Espero no haberte mareado y que te sirva.

Saludos.

PD: fijate que después de hacer todas las cuentas, vas a poder deducir la formulita de plano tangente que como no sé si la vieron o no, preferí darte la explicación larga.

La formulita la dieron por el aire, pero es mas facil para resolver el ejercicio. Tengo una sola duda mas, como derivas . Con aplicar el teorema de la funcion implicita decis de reemplazar en la formula explicando el por que, no?
Gracias

Para derivar la usás la regla de la cadena: . Hacés todas las cuentas y evaluás en el punto que te dieron. Después si explicás bien por qué vale la formulita, la usás y listo.

Saludos.

La derivada de f compuesta con h es el gradiente de f en el punto luego de analizar h en el (1,0,0)?

Esto decís? pues

Eso, perfecto, gracias.

En el 4to ejercicio puede ser que haya un error? Dice

Para el 3): Separo la integral entre 0 y 1 y 1 e infinito. La primera converge por ser continua en ese intervalo. La segunda no se como hacerla. Alguien la pudo hacer?

Podes usar el criterio del cociente para integrales.

Alguien puede subir el 4 por favor?

el plano tangente me quedo igual a: (3,0,1)(x-1,y,z)=4 esta bien esto?????

A mi me dio lo mismo.

En el 4 que hago? Que coordenadas uso? Es la parte de afuera de una elipse intersecada con un elipsoide no?

En el 4 usando coordenadas esfericas pongo ?

Para el 4 no sé si te conviene usar esféricas, porque en una parte te va a quedar que es bastante feo, entre otras condiciones más. Yo probé con polares para (x,y) y me quedó más lindo (en realidad se llama coordenadas cilíndricas). Fijate como te resulte más cómodo.

Saludos.

Cilindricas es como polares pero z=z , no? Esta bien lo que puse, los valores entre los que se mueven?