Buenas Tardes, quería consultar por este ejercicio de la Práctica 1. No se como encararlo para probar estos enunciados. Ni como demostrar que es abierto para un A en general. Gracias.

Sea . Mostrar la equivalencia de los siguientes dos enunciados:

1) A es abierto
2) Cualquiera sea , existe r > 0 tal que

Para probar que A es abierto yo lo pienso como un juego entre dos personas:
Paso 1: Yo te doy un punto x.
Paso 2: Vos buscas un radio r de manera que la bola de centro x y radio r este incluida en A.

Si vos no podes completar el paso 2 yo gano y si siempre lo podes completar ganas vos.

Resulta que A es abierto si y solo si vos ganas.

Pruebo 1 implica 2, 2 implica 1 es similar.

Sabemos que A es abierto, debemos probar 2. Para eso dado y en A tenemos que encontrar el r, por la definicion de abierto sabemos que hay una bola de radio s centrada en y que esta toda incluida en A. Tomemos r generico. Hay que ver que si entonces x A. Como la bola de radio s centrada en y esta contenida en A basta ver que x esta en esta bola, entonces calculamos:
, esta ultima acotacion es porque
Pero queremos basta tomar entonces o lo que es lo mismo .

Espero que se entienda, cualquier cosa preguntá

Muchisimas Gracias!! Se entendió