Bueno, sigo estrenando secciones del foro ! Aunque esta seccion esta hace rato, somos todos vagos para postear algo de analisis eh?

Este tema de Taylor no es dificil, pero es extremadamente engorroso el hecho de tener q sacar muchisimas derivadas parciales. Pero son solo cuentas, no hay q pensar nada

Los primeros dos ejercicios, son bastante basicos, son solo sacar derivadas parciales, y los dos que vienen no los hago porq no tengo ganas (el 4 en particular es larguisimo y no vale la pena (si un profesor esta leyendo esto, por favor NO ponga un ejercicio asi en el parcial solo porq dije q no valia la pena! (sino hay tabla)))

Mi idea no es hacer todos los subpuntos de cada ejercicio, sino algunos para que vean mas o menos como se resuelven si es que tienen mucha duda en como hacerlos...
Si hay alguno en particular que no les sale, consulten en el foro que somos varios que vamos a intentar responder con la mejor onda =)

Ejercicio 5

Primero define una funcion armonica de esta forma:



Antes que nada, no es dificil este ejercicio, intentenlo antes de ver la resolucion...











Ejercicio 7





Ejercicio 8



en (0,0)



Espero que les haya servido gente, nos vemos

Hace un rato hice el último que pusiste y cuando vi que me dio lo mismo dije, que boludo, era un polinomio, no tenía que hacer nada jaja

groso, duda del 8, reemplazas en la sumatoria n por 2 porq son las derviadas de grado 2 hasta las q hiciste?


y esa sumatoria la vi de Tromba porq en la teórica jamás la dieron,no c si en la de la mañana la habrán dado...

Salu2

si pueden seguir subiendo lo q van haciendo buenisimo,esto me sirvió para aclararme la cabeza =)

En realidad, hay un patrón en los términos del polinomio de Taylor... no necesitan saberse la fórmula de memoria, pero les comento que si miran bien, tienen el desarrollo del binomio de Newton de grado n si se hallan en el paso de la derivada de orden-n, para dos variables. Y para m variables, el desarrollo del multinomio m elevado a la n. Para que se convenzan...



Si observan los números 1, 2, 1... se parecen al cuadrado de un binomio. Si ven para el orden 3, aparecen los números 1, 3, 3, 1... como el desarrollo de binomio grado 3. Esto tiene una explicación inmediata(pero no formal). Como la función es de clase , las derivadas cruzadas son iguales, y estas tienen la misma cantidad de letras ''x'' e ''y''. Luego, lo que hacen es contar las posibles permutaciones de las palabras xyyxx... como tienen n letras(grado n), lo que hacen es elegir ''i'' de tales que sean ''x'', y las restantes, ''y''. Luego, tal cantidad de permutaciones es el coeficiente del término
.
En definitiva... pueden ver que se parece al desarrollo del binomio de orden n. Esto dista de ser una demostración... lo correcto es usar inducción en n, usando como idea la demostración de la expresión del polinomio de Taylor de orden 2, que vimos en la teórica.
Espero que les ayude el comentario.

Si habia notado el patron, y lo iba a comentar, pero me parecio que por ahi confundia mas las cosas porq no tiendo a explicar bien.. gracias por ahcerlo vos =)

Habria que aclarar que para el ejercicio 8,en Taylor, en la parte que usás derivadas parciales mixtas la multiplicas por 2 porq son iguales....SIEMPRE Y CUANDO las parciales sean continuas...sino hay q calcularlas cada una por su lado y dps reemplazar por el punto en cuestion


ESTO PASA SIEMPRE PARA ESTE EJERCICIO (si on todas funciones continuas,y sus parciales tmb),pero esta bueno aclararlo,por si alguien vio un 2 ahi y dijo wtf?

No es necesario aclararlo, pues al aclarar que la función es de clase (habría que aclarar que lo es en todo su dominio, o en el punto a analizar), es un corolario la igualdad de las derivadas cruzadas.