Un ejercicio curioso... bastante inocente(y canónico; incluso parte del mismo se halla en la práctica 8, y la otra parte en un libro de análisis. Mi aporte es este post, prácticamente). Mi creatividad últimamente está muriendo. Espero que levante
1) converge si y diverge si . De esta manera, podemos definir . Esta función se conoce como función Gamma
2)Probar que . Así, la función Gamma permite extender al factorial a los números reales positivos.
3)Probar que converge
4)Probar que
5)Usando que , y planteando como límite de integrales en círculos utilizando coordenadas polares, calcular
6)Probar, finalmente, que

Para poder resolver adecuadamente este ejercicio, es recomendable(tal vez, necesario, debería decir) haber visto el Teorema de Cambio de Variables, y manejar integrales impropias. Espero que ayude el ejercicio, que es a su vez una extensión de uno de la práctica(es que no puedo evitarlo; por alguna razón este ejercicio me agrada). Un poco más desafiante(¿acaso?), es el siguiente, también canónico:

Sea la esfera -dimensional de radio dada por . Definimos el volumen de la -esfera por la integral .
Probar que para , vale que , donde es la función Gamma.
Sugerencia: el teorema de cambio de variables vale para integrales múltiples, en general. Primero, bajo un cambio adecuado de variables, probar que . Luego, probar que , esciribiendo la integral que da a como la iteración de una integral -múltiple, y una integral doble, trabajando adecuadamente con la región . Luego, después de un poco de trabajo, usar coordenadas polares, y recordar que , y que dada una sucesión de números reales definida por recurrencia, existe una única función que la satisface.

No es tan difícil como parece; seguro que sin leer la sugencia sale más fácil. Nuevamente, es recomendable tratar de encarar este ejercicio después de T. de cambio de Variables. Ahora si, saludos.

Un comentario interesante: El volúmen de la bola de radio 1 alcanza un máximo en dimensión 5... y después decae...

En unas cosas que postee en otro lado esta hecha la cuenta del volumen de las n-bolas con detalle. Se llama n-bolas.tex o algo asi.

En el apunte, de integrales, pensaba poner este ejercicio resuelto. Así que uso lo que sugeriste, Quimey.

PD: es muy curioso ese detalle del volumen¿es un caso particular de algo más general o tan solo una curiosidad matemática?

Desde la ignorancia creo que es algo particular que el maximo se alcanze en esa dimension, Pero es creible que si una formula es de la forma tenga un comportamiento de ese estilo. Me imagino que se puede hacer la cuenta para cualquier a.

El otro dia le comenté esto al ayudante de algebra, y nos pusimos a hacer la cuenta y efectivamente, es cierto y se ve facil!!!

Explicaria COMO se ve, pero no tengo a mano la formula de volumen de la n-bola (la busque y se la mostré a un amigo hace 15 minutos, pero ya lo cerre y ni ganas xD)

Pero está muy interesante ^^