A ver este otro...

Estudiar la existencia del plano tangente al grafico de las siguientes funciones en los puntos indicados. Si existe, escribir la ecuacion.

en (16,1)

Fijate que es producto y composición de funciones que son todas diferenciables! ( es tomar raíz cuadrada dos veces, y tomar raíz cuadrada es diferenciables en 16, y otra vez en 4 ), eso implica que el plano tgte en ese punto existe. Ahora solo es cuestión de calcular las derivadas parciales y etc, pero lo podés hacer con la formulita usual de que la derivada es bajar el exponente mulitplicando y elevando a la exponente -1, etc.

Gracias, no lo que no me salia era justamente probar que era diferenciable pero si lo puedo decir directamente esta bien.

Saludos!

Pasa que las funciones que tiene valores fraccionarios en el exponente, suelen tener problemas de diferenciabilidad en el origen, o puntos donde la función se anula, o al menos, se anula la parte donde está dicho exponente. Fijate, por ejemplo, , cuya derivada es . En , cuando tenés , tenés como duda qué pasa en el origen , por ejemplo. Sabés que (por la derivada de arriba) que es diferenciable en todos los valores distintos que tengan . Luego, por producto de funciones diferenciables, sabés que es diferenciable en valores donde . ¿y en el ? recurrís a la definición(no podés aplicar la derivada de arriba y decir que no existe; tenés qe calcular las derivadas parciales con el límite).
Con respecto a los negativos, no tiene sentido hablar de diferenciabilidad en tales valores porque estás trabajando sobre , y la raíz cuadrada sobre está bien definida para la semirrecta .
Espero haberte aclarado... y no confudido más...