Muchachos, les hagos una consulta.
Tengo una función de R2---->R de clase C1 que me dan el gradiente en el origen y el valor de la imagen en el origen (f(0;0)=1). Me dan tambien una función (V(t)) definida de R---->R de clase Cinfinito y me las componen de manera tal de que f(v(1/2))=1. El ejercicio tiene dos items.
¿Es cierto que existen infinitos puntos (xy) tales que f(xy)=1?
Eso es cierto. Primero: el gradiente de f en (0;0) no es nulo, por lo tanto descarto que f sea extremo local. Mi idea es decir "bueno, como f es continua en Z=1 se define una curva de nivel". Pero no sé cómo escribirlo elegante.
El segundo dice que calcule la derivada de la composición en 1/2, y hecho eso hay que probar que la composición es creciente entorno al 1/2.
Mi idea ahí es decir "bueno, la derivada de la composición es continua, por lo tanto, como el valor de la derivada de la composición es = 3 > 0, existe r>0 tal que g'(x0)>0 con x0 que pertenece a (1/2-r; 1/2+r). Eso implica que g es creciente en ese entorno.
¿Está bien?
Gracias muchachos.

Hola.

Por favor, antes que nada, trata de escribir en Tex los enunciados de los ejercicios y que esten lo mas claro posibles. Si no te los acordas bien, trata aunque sea de ser mas formal, pues algunas cosas las tuve que adivinar (no lo tomes a mal, es para poder ayudarte mejor!). Incluso no entiendo la composicion "f(v(t))" pues y segun lo que escribiste ahi, entonces la composicion no tiene sentido

Para la primera parte, hay que usar el teorema de la funcion implicita. Vos dijiste que , entonces por el teorema de la funcion implicita (supongo que despejo en funcion de ), existen entornos abiertos (A un entorno al 0 y B un entorno al (0,0)), y una funcion continuamente diferenciable tal que , y , donde .

Luego, como los entornos son abiertos, tienen infinitos puntos, por lo que hay infinitos puntos que satisfacen , que es lo que querias probar.

Para la segunda parte supongo que haces regla de la cadena y despues usas la continuidad de las derivadas para decir que mantienen el signo en un entorno, luego la funcion sera creciente o decreciente en ese entorno (lo que te pida...)

Saludos!