Hola, el de demostrar que una bola es un conjunto abierto lo entiendo, no me sale este:
Gracias!

Graficalo y buscá un radio que haga que para cualquier punto genérico que cumpla con la ecuación, la bolita centrada en ese punto de radio r, va a estar enteramente contenida en el conjunto.

Por ejemplo un radio podría ser la mitad de la distancia mínima entre el punto genérico y la recta que es la parte "acotada" de tu conjunto , es decir con un punto genérico del interior.

Técnicamente no. Ahora tenés que ver que para todo punto de la bolita de radio (ése que encontraste) centrada en , pertence al conjunto que te dieron, es decir, que satisface la desigualdad. Eso probaría que , con el conjunto del enunciado. Con eso probás que es abierto.

En general probar esto último puede ser bastante difícil, con lo que el ejercicio se reduce a encontrar un radio que cumpla. Si podés convencerme de que ese radio cumple, ya está bien.