Mostrar que los siguientes conjuntos son abiertos en son abiertos:
i.

La verdad es que no me doy cuenta ¿Esto era con bolas? ¿Cómo?

Si, con bolas, es igual que el otro que ya posteaste de ver que una bola abierta es un conjunto abierto, salvo que ahora necesitas que cualquier bola que hagas, este entre la bola de radio 1 centrado en el 0 y la bola de radio raiz de 7 centrada en el 0.

Es porque querés probar que es un abierto. Tenés que ver que para cada punto del conjunto (no importa la "forma" que tenga) existe un radio positivo tal que la bola centrada en ese punto, con ese radio, está "metida" en el conjunto.

Me estoy dando la cabeza contra la mesa pero no logro escribir en el papel la idea de que puedo formar bolas del radio que quiera que siempre van a estar entre 1 y 7. Deberia separar en 2 inecuaciones?

gracias.

Intenta hacer un dibujo de la situación (por ejemplo http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... y+%3C+7%29). Seguro que te puede ayudar.