12) Encontrar el punto de la superficie z=xy-1 más cercno al origen

No se si estará bien, lo calculé por lagrange. Pero igual lo que quería es saber si es posible calcularlo de otro modo
Lagrange (con algunas dudas ^^):


Otro modo:

Si tenes restricción no podes armar el hessiano....es mejor la otra resolución para mí, en dos variables

Vos estás tratando de minimizar la función distancia sobre una superficie. En estos casos el método es Lagrange; no estás estudiando ningún "interior"(pensá, ¿quién es el interior de la superficie que decís? ). O sea, todos los puntos críticos te los dan los multiplicadores de Lagrange(fijate que en la demostración del Hessiano, usás en cierto sentido que el dominio tiene interior. Más aún, que es abierto). Esto que digo indica que la demostración que hiciste para probar que el punto crítico hallado es un mínimo no está bien. Para probarlo, tenés varias alternativas; podés intentar calcular la distancia evaluada en el , y probar que la distancia sobre la superficie es siempre mayor que tal valor(camino que no hice la cuenta, así que no se si sale fácil). Sino, podés probar que la superficie considerada es un conjunto cerrado del espacio. Tenés un resultado acerca de compactos(se alcanzan mínimos y máximos absolutos), con lo que podrías tratar de probar que para cada acotación de la superficie de manera que tenga al , siempre resulta mínimo.
Con respecto a la segunda forma, no se si es más económica, pero anda. Igual tenés que tener cuidado con ese proceder, debido a problemas que puede tener la parametrizción(en cuanto al dominio de la misma. No es este el caso)
Fijate si algo de esto ayuda

Me refiero puntualmente a superficies como la de la esfera, el cilindro, el cono, el elipsoide, el hiperboloide, que no son gráfica de una función de y su dominio de definición no es , y tenés que cuidar más la parametrización.
Ejemplo: en la esfera , tenés que considerar dos polos, y cuidarte que no podés mover(si fijás como variable) los tan libremente. O sea, el dominio en el que trabajás no es muy ameno. Por eso anda M.de Lagrange
Otra forma... es parametrizar la esfera con coordenadas esféricas, que puede andar y el dominio es sencillo... fijate si se entendió ahora.