La idea del thread es ir agregando nociones que permitirían fundamentar el cálculo integral y difirencial que se ve en análisis I. Me gustaría que vayan viéndole un vistazo a ver qué futuro creen que podría llegar a tener y me vayan diciendo si hay errores, hay cosas que están de más, faltan otro tanto de cosas importantes y lo que se les ocurra. Me di cuenta que me tomará más tiempo del que creí hacer el thread (lo comencé a escribir hace varias horas) y decidí ir subiéndolo y hacerlo con más tiempo y tranquilidad.

En fin... esto es lo que llevo (por ahora son sólo cosas de análisis del CBC):

A lo largo de esta discusión iré escribiendo las nociones básicas sobre topología, los espacioes euclídeos, los números reales y las sucesiones reales que servirán como fundamento para el cálculo diferencial e integral de análisis I. Se tendrán que tener ciertas nociones básicas de matemática, pero serán realmente mínimas. Asimismo, el post está abierto a modificarse con el tiempo según lo que la gente recomiende u observe que se encuentra mal hecho.




Definiciones previas
Nociones básicas sobre teoría de conjuntos.

Una pequeña ida y vuelta antes de ver un poco de topología.

Para poder trabajar, por ejemplo, sobre el plano, es necesario poder distinguir los pares y , mientras que en los conjuntos . Por lo que una definición razonable será y estos pares los llamaremos pares ordenados. El producto cartesiano será el conjunto de pares ordenados tales que .
Un conjunto de pares ordenados se llama relación. Si en particular el primer elemento es único para cada par, es decir y implica que , entonces la relación se llama función y se escribe . Diremos que es inyectiva si

Dada una relación se define y se la denomina inversa de (eventualmente podrán ser funciones).

Teorema Si es una función inyectiva, entonces la relación inversa es una función.

Las definiciones de dominio , imagen y composición serán aquellas que ya conocemos. En particular, las funciones cuyo dominio sea las llamaremos sucesiones.

Definición: Dos conjuntos y se llaman coordinables o equipotentes si existe alguna función inyectiva tal que . La idea de esta definición es que se nos permite pensar, de alguna forma, la cantidad de elementos que tiene un conjunto. Si el conjunto es finito, ie , entonces lo que habremos hecho es contar (), por lo que el resultado es el esperable. Sin embargo, cuando el conjunto es infinito, la noción intuitiva la perdemos y esta se vuelve un excelente recurso. Por cierto, utilizaremos el asterisco/estrella para señalar que dos conjuntos son coordinables, es decir (se suele usar ~, pero no recuerdo cómo se hacía en ).

Diremos que un conjunto es finito y que tiene elementos si y sólo si ( se llamará cardinal de ). Aquellos conjuntos que no sean finitos serán infinitos, salvo el vacío cuyo cardinal será . Es sorprendente que una definición alternativa para decidir cuándo un conjunto es finito o infinito es la siguiente:
Un conjunto es finito si y sólo si no es coordinable con ningún conjunto propio. Es decir, un conjunto será infinito si y sólo si posee un conjunto propio equipotente. Veamos un ejemplo:

El conjunto de los números pares es claramente un conjunto propio de los números naturales . La función es inyectiva sobre . Por lo que y son coordinables. Es decir, que por más que esté estrictamente incluído en , la "cantidad" de elementos es la misma. Además de los pares, se podrían haber elegido los números impares, primos, cuadrados, potencias de k, etcétera. Y todos ellos serán coordinables entre sí. Sorprendentemente, también el conjunto de los números racional lo será (se los dejo para que lo piensen).

Definición: Un conjunto se llama infinito numerable si es equipotente a .

Cuando un conjunto tiene esta propiedad, nosotros podremos describir al conjunto como (¡nunca poner un al final!) o como simplemente. Es decir, lo describimos mediante una sucesión inyectiva. Se dice que su cardinal es (álef subcero).

Un conjunto será numerable si o bien es finito o bien es infinito numerable.

Proposición: Todo subconjunto de un conjunto numerable es numerable.

Demostración. Sea numerable, podemos suponer que es infinito y que el subconjunto que tomamos también lo es (caso contrario no hay nada para probar). Si escribimos . Tomamos al menor natural que satisface que por el principio de buena ordenación existe. Ya definidos los primeros elementos de , definimos de forma análoga sobre el conjunto . Q.E.D.

¡El conjunto de los números reales no es numerable!

Demostración (diagonalización de Cantor): Por la proposición anterior, nos bastará probarle para el intervalo . Si el conjunto fuera numerable, existiría que recorra todos los números. Podemos expresar sus términos como:


Luego nos construímos una sucesión .
Entonces, el número no será imagen de la sucesión pues necesariamente difiere del elemento en el decimal.

Esta proposición, aunque en principio no lo parezca, es muy fuerte y nos está diciendo que aunque ambos conjunto y sean infinitos, el segundo posee muchísimos elementos más que el primero (cosa que no sucede con ).

Notaciones y álgebra de conjuntos.

La unión de conjuntos , al igual que la intersección, puede extenderse a una familia o colección de conjuntos infinita utilizando los operadores de la siguiente forma (análoga para el otro). Si la colección de los conjuntos es , entonces:

Si es infinito numerable:

Si posee conjuntos:


Teorema: