Muy buen post bastante entendible y útil gracias.
Yo agregaría que si te piden demostrar que el jacobiano es igual cero sabiendo que se cumple las demás hipótesis, probarlo por el absurdo usando este teorema y llegar a una contradicción.
Saludos!!.

Me vino barbaro, realmente excelente!

Parte de las cosas que decis vos son el teorema, pero otras son mas generales.
Lo que te dice inversa es que si tenes una funcion en un entorno de entonces en un entorno mas chiquito es biyectiva y la inversa es
Lo de la diferencial sale con la regla de la cadena:

Esta cuenta quiza te sirve en un contexto mas general que el de funcion inversa y tambien te permite obtener las derivadas de ordenes superiores, simplemente seguis derivando esta igualdad.

Excelente aporte, ¿sería mucho pedir una explicación así para implícita y aplicaciones del teorema del valor medio?.